结论：抚养人有权在特定情况下要求被告承担判决书未涵盖的其他抚养支出费用，但需满足一定条件并遵循相应法律程序。

详细分析：

1. 抚养费的基本性质与范围：

   • 抚养费通常包括子女的生活费、教育费、医疗费等必要费用。判决书中确定的抚养费数额，是基于子女当时的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平等因素综合考量的结果。
   • 如果判决书仅判决了600块抚养费，这通常意味着该数额被认定为足以覆盖子女当时的基本生活需求。然而，随着子女成长、生活成本上升或特殊情况的出现，原有抚养费可能不足以满足子女的实际需要。

2. 要求增加抚养费的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，关于子女抚养费的数额，可根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平确定。有固定收入的，抚养费一般可按其月总收入的百分之二十至三十的比例给付。负担两个以上子女抚养费的，比例可适当提高，但一般不得超过月总收入的百分之五十。无固定收入的，抚养费的数额可依据当年总收入或同行业平均收入，参照上述比例确定。有特殊情况的，可适当提高或降低上述比例。
   • 如果子女因患病、上学等实际需要已超过原定数额，或者原定抚养费数额不足以维持当地实际生活水平，或者因其他正当理由（如父母经济状况显著变化等），子女或抚养人有权要求增加抚养费。

3. 要求增加抚养费的程序：

   • 抚养人应首先与被告进行协商，尝试通过友好沟通解决抚养费增加的问题。
   • 如果协商不成，抚养人可以向人民法院提起诉讼，请求变更抚养费数额。在诉讼过程中，抚养人需要提供充分的证据证明子女实际需要的增加或原定抚养费数额的不足，以及被告具有支付能力等事实。

4. 其他支出的费用是否可要求承担：

   • 除了基本的生活费、教育费和医疗费外，如果子女因特殊原因（如重大疾病、意外伤害等）产生了其他必要的支出费用，且这些费用超出了原定抚养费的范围，抚养人同样有权要求被告承担相应的费用。
   • 在这种情况下，抚养人需要提供医疗证明、费用清单等相关证据，以证明这些费用的合理性和必要性。

建议与行动：

• 收集证据：抚养人应收集与子女实际需要增加相关的证据，如医疗费用单据、教育费用收据等，以证明原定抚养费已不足以满足子女的实际需要。
• 协商与诉讼：在收集到充分证据后，抚养人应首先尝试与被告进行协商，看是否能够达成增加抚养费的协议。如果协商不成，再考虑向人民法院提起诉讼。
• 持续关注与调整：随着子女成长和生活环境的变化，抚养费的需求也可能随之变化。因此，抚养人应持续关注子女的实际需要，并在必要时及时向法院申请调整抚养费数额。

总结：抚养人在特定情况下有权要求被告承担判决书未涵盖的其他抚养支出费用，但需满足一定条件并遵循相应法律程序。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。