公安机关设立的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。具体来说：
《中华人民共和国刑事诉讼法》第三条：
- 该法条明确规定了公安机关在刑事诉讼中的职责和权力范围。它指出：“对刑事案件的侦查、拘留、执行逮捕、预审，由公安机关负责。”这一条款为公安机关的设立和行使侦查权提供了直接的法律依据。
- 同时，该法条也确立了侦查权、检察权、审判权的专属行使原则，即这些权力只能由法律明文规定的专门国家机关行使，其他任何机关、团体和个人都无权行使这些权力。这进一步强化了公安机关作为刑事侦查机关的法律地位。
《中华人民共和国刑事诉讼法》第四条（补充规定）：
- 虽然该条款主要针对的是国家安全机关在危害国家安全类刑事案件中的侦查职权，但它也间接体现了公安机关在常规刑事案件侦查中的主导地位。国家安全机关在特定领域内行使与公安机关相同的职权，这并不改变公安机关在大多数刑事案件中的核心侦查角色。
公安机关设立的实践意义：
- 公安机关作为国家的刑事侦查机关，其设立和行使职权对于维护社会治安、打击犯罪活动具有至关重要的作用。通过依法行使侦查权，公安机关能够及时收集证据、查获犯罪嫌疑人，为后续的刑事诉讼程序奠定坚实基础。
- 同时，公安机关的设立也体现了国家对刑事司法权力的精细划分和专属配置。这种配置方式有助于防止权力滥用、越权执法等违法违规行为的发生，保障刑事诉讼活动的合法性和公正性。
公安机关与其他司法机关的关系：
- 在刑事诉讼中，公安机关与人民检察院、人民法院共同构成了刑事司法体系的核心。公安机关负责侦查工作，人民检察院负责检察和公诉工作，人民法院负责审判工作。三者之间分工负责、互相配合、互相制约，共同维护着刑事司法活动的顺利进行。
总结来看，公安机关的设立具有明确的法律依据，主要体现在《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定中。这些规定不仅确立了公安机关在刑事诉讼中的核心地位，也为其依法行使侦查权提供了坚实的法律保障。如果您在公安机关设立或行使职权方面遇到任何法律问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。