结论：抗诉案件听证申请书可以与证据一同寄出，但需注意确保材料的完整性和寄送的安全性，同时遵循相关法律程序和规定。

分析说明：

1. 材料寄送的合法性：

   • 在抗诉案件中，当事人或其代理人有权向相关部门提交听证申请书及证据材料。这是法律赋予当事人的权利，也是案件审理过程中的重要环节。
   • 寄送听证申请书和证据材料是当事人行使权利的一种方式，只要材料真实、合法、有效，且符合相关法律程序和规定，就可以进行寄送。

2. 材料寄送的注意事项：

   • 完整性：确保寄送的材料完整无缺，包括听证申请书、证据材料及其清单等。任何遗漏或缺失都可能影响案件的审理进程。
   • 安全性：选择安全可靠的寄送方式，如使用邮政EMS等具有法律效力的寄送服务，并保留好寄送凭证，以备查询和证明。
   • 及时性：根据案件审理的进度和要求，及时寄送材料，避免因延误而影响案件的审理。

3. 法律程序和规定：

   • 在寄送材料前，应仔细阅读相关法律程序和规定，了解听证申请书的格式要求、证据材料的提交方式等。
   • 如果可能的话，可以事先与相关部门或法院进行沟通，确认材料的寄送方式和要求，以确保材料的顺利接收和审理。

特殊场景：

• 如果案件涉及多个当事人或多个证据材料，建议分别寄送或采用其他更安全、更便捷的方式提交，以避免混淆或遗漏。
• 如果对寄送材料的具体要求或程序存在疑问，可以直接向相关部门或法院咨询，或者寻求专业律师的帮助。

行动建议：

• 在寄送抗诉案件听证申请书和证据材料前，务必仔细核对材料的完整性和准确性。
• 选择安全可靠的寄送方式，并保留好寄送凭证。
• 遵循相关法律程序和规定，确保材料的合法性和有效性。
• 如有任何疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和建议。