遇到别人肇事逃逸的情况，确实会让人感到焦虑和无助，但请保持冷静，按照以下步骤来处理，可以最大程度地保护您的合法权益：

一、确保自身安全

首先，请确保自己和周围人员的安全。如果身处危险区域，比如道路中间，应立即转移到安全地带，如人行道或应急车道，以避免二次事故的发生。

二、迅速记录肇事车辆信息

尽可能记住肇事车辆的详细信息，包括车型、颜色、车牌号码（如果看不清，就描述车身的大致特征，比如有无明显划痕、装饰等）。这些信息对于后续确定事故责任至关重要。

三、寻找并保留证据

1. 查看监控：观察周围是否有监控摄像头，记下其位置，后续可以请求警方调取录像作为证据。
2. 寻找目击证人：如果有现场目击者，及时获取他们的联系方式，他们的证言对于事故调查非常有帮助。
3. 利用行车记录仪：如果您的车辆装有行车记录仪，确保它已经保存了相关录像，并准备提供给警方。

四、立即报警

拨打交通事故报警电话（如122），向交警准确清晰地报告事故发生的时间、地点、肇事车辆的特征及逃逸方向等关键信息。如果事故中有人员受伤，应同时拨打120急救电话。

五、通知保险公司

及时向自己的保险公司报案，告知事故发生的情况和肇事车辆逃逸的事实。按照保险公司的要求提供相关资料，以便启动理赔流程。虽然肇事逃逸可能会影响保险理赔，但及时沟通有助于您了解自己的权益和后续处理方式。

六、积极配合警方调查

如实陈述事故发生的经过，提供所掌握的所有线索和证据。如果想起新的线索或细节，随时与警方联系，并按照要求前往交警队做笔录。警方会根据您提供的信息和现场勘查情况，进行事故责任认定。

七、关注案件进展并准备索赔

1. 等待事故认定：交警部门会根据调查情况，在规定时间内出具交通事故责任认定书。
2. 准备索赔材料：在等待事故认定的同时，整理好所有相关证据，包括照片、录像、目击证人证言等，以备索赔之需。
3. 申请理赔或索赔：根据保险合同向保险公司申请理赔。如果保险公司赔偿不足或肇事逃逸者未被找到，您可以通过法律途径向肇事逃逸者索赔。在掌握足够证据的情况下，可以向法院提起民事诉讼，要求肇事方承担相应的赔偿责任，包括车辆维修费用、医疗费用、误工费、交通费等。

八、了解法律责任

肇事逃逸是一种严重的违法行为。根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，将面临罚款和拘留的处罚；若构成犯罪，则将依法追究刑事责任，且终生不得重新取得机动车驾驶证。

综上所述，遇到肇事逃逸时，请保持冷静、迅速行动，通过记录肇事车辆信息、寻找并保留证据、立即报警、通知保险公司以及积极配合警方调查等措施，可以最大程度地保护自己的合法权益。