结论：精神病患者打人被警察抓后，是否会有案底取决于其作案时的精神状态及是否需承担刑事责任。若经鉴定为完全无刑事责任能力，则不会留下案底；若为限制刑事责任能力，则可能留下案底。

详细分析：

1. 完全无刑事责任能力的情况：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第十八条的规定，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候造成危害结果，经法定程序鉴定确认的，不负刑事责任。这意味着，如果精神病患者打人时确实处于无法辨认或控制自己行为的状态，并且经过法定程序鉴定确认，那么他们不会被追究刑事责任，也就不会留下案底。
   • 举例：张某患有严重的精神分裂症，在发病期间无法辨认自己的行为，打伤了他人。经鉴定，张某在作案时确实处于无法辨认自己行为的状态，因此不负刑事责任，不会留下案底。

2. 限制刑事责任能力的情况：

   • 同样根据《中华人民共和国刑法》第十八条，尚未完全丧失辨认或者控制自己行为能力的精神病人犯罪的，应当负刑事责任，但是可以从轻或者减轻处罚。这意味着，如果精神病患者打人时虽然精神状态异常，但并未完全丧失辨认或控制自己行为的能力，那么他们仍然需要承担刑事责任，只是可能受到从轻或减轻处罚的待遇。在这种情况下，他们可能会留下案底。
   • 举例：李某患有轻度精神障碍，在情绪激动时打伤了他人。经鉴定，李某在作案时虽然精神状态异常，但并未完全丧失辨认或控制自己行为的能力，因此需要承担刑事责任。由于李某的犯罪情节较轻，且存在精神障碍的情况，法院可能对其从轻或减轻处罚，但李某仍然会留下案底。

法律建议：

• 对于精神病患者及其家属来说，应当积极配合司法机关的鉴定工作，提供真实的医疗记录和诊断证明，以便司法机关准确判断患者的精神状态和刑事责任能力。
• 如果精神病患者确实需要承担刑事责任，家属应当积极为其寻求法律援助和辩护，争取从轻或减轻处罚的机会。
• 同时，家属也应当加强对精神病患者的监护和管理，防止其再次发生危害社会的行为。

后续行动：

• 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和应对策略。
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