行政诉讼第三人申请的核心方式为：主动申请或由法院通知参加，需在案件受理后、判决前提出申请，并提交相关材料证明与案件的利害关系。以下是具体说明：

1. 申请主体与条件
   根据《行政诉讼法》第29条，与被诉行政行为有利害关系（如行政处罚中的被处罚人、相邻权人、受害人等），或与案件结果有法律上利害关系的公民、法人或其他组织，均可申请作为第三人参加诉讼。例如，在房屋拆迁案件中，未被直接起诉但可能因拆迁决定受损的承租人，可申请作为第三人。

2. 申请方式与材料

   • 主动申请：需向受理案件的法院提交书面申请书，内容应包括：
     
     • 申请人基本信息（姓名、联系方式等）；
       
     • 案件名称、案号及受理法院；
       
     • 申请理由（说明与被诉行政行为的利害关系，如“因行政处罚决定直接影响本人经营权”）；
       
     • 证据材料（如合同、权属证明、行政机关通知等）。
       
   • 法院通知参加：若法院认为案件处理结果与某主体有利害关系，可直接通知其作为第三人参加诉讼，此时无需主动申请。

3. 申请时间与程序
   申请应在案件受理后、法院作出判决前提出。法院收到申请后，会审查申请人与案件的利害关系，并在5日内作出是否准许的通知。若准许，第三人可参与后续诉讼程序（如提交证据、参加庭审、上诉等）。

4. 注意事项

   • 利害关系证明：申请时需提供初步证据证明与案件的关联性，否则可能被法院驳回。例如，在环保处罚案件中，周边居民需提供居住证明、环境监测报告等。
     
   • 权利救济：若法院未通知参加或驳回申请，第三人可通过上诉或申请再审维护权利（如认为遗漏第三人导致程序违法）。
     
   • 诉讼地位：第三人独立于原告、被告，可支持一方主张，也可提出独立诉讼请求（如撤销或变更行政行为）。

建议：若您需申请作为行政诉讼第三人，可先整理与案件相关的证据材料（如合同、行政文书、损失证明等），并撰写书面申请书明确诉求。如有疑问，可直接向我咨询具体案件中的操作细节。