核心结论：在首付分期逾期被开发商起诉且第一次调解无果的情况下，后续主要有积极应诉、再次尝试协商、考虑还款方案调整这几个处理方向。
具体分析：
- 积极应诉
- 准备证据材料：要全面收集与首付分期相关的所有证据，比如首付分期合同，这是明确双方权利义务的关键文件，能清楚看到分期付款的金额、期限、违约责任等条款；还有付款记录，包括已付款和未付款的凭证，像银行转账记录、收据等，以此证明自己的付款情况；另外，如果有能证明逾期存在不可抗力因素或开发商有过错的证据，如因突发重大疾病导致资金困难的相关医疗证明、开发商未按约定交付房屋或存在其他违约行为的证据等，也要一并收集。
- 研究法律规定：深入研究与房屋买卖、首付分期以及逾期违约相关的法律法规。例如《民法典》中关于合同违约责任的规定，明确在首付分期逾期的情况下，自己可能承担的法律责任以及开发商主张的权利是否合法合理。了解这些法律规定，有助于在法庭上为自己进行有效的辩护，维护自身合法权益。
- 委托专业律师（如有需要）：如果自己对法律程序和法律规定不太熟悉，或者案件情况比较复杂，可以考虑委托专业律师代理诉讼。律师具有专业的法律知识和丰富的诉讼经验，能够为你制定合理的诉讼策略，撰写法律文书，在法庭上为你进行有力的辩论，提高应诉的成功率。
- 再次尝试协商
- 主动联系开发商：在应诉的同时，可以主动与开发商取得联系，表达自己愿意解决问题的诚意。说明自己目前的经济状况和导致逾期的原因，争取开发商的理解。
- 提出新的还款方案：根据自己实际的经济能力，提出一个切实可行的还款方案。比如延长还款期限，将剩余的首付款分期在更长的时间内还清；或者调整每期的还款金额，减轻当前的还款压力等。在提出方案时，要确保方案具有可操作性和合理性，增加与开发商达成和解的可能性。
- 借助第三方调解：如果双方直接协商存在困难，可以寻求第三方的帮助进行调解。比如可以请求当地的人民调解委员会、房地产行业协会等机构介入，这些机构具有中立性和专业性，能够在双方之间起到沟通协调的作用，促进双方达成和解协议。
- 考虑还款方案调整
- 评估自身经济状况：对自己的收入、支出、资产等情况进行全面评估，了解自己目前的经济实力和未来的还款能力。根据评估结果，确定自己能够承受的还款金额和还款期限。
- 与金融机构沟通（如有贷款）：如果购房涉及银行贷款，除了与开发商协商首付分期还款方案外，还需要与贷款银行沟通，说明自己的情况，看是否可以调整贷款还款计划，避免因首付逾期影响贷款的正常还款，导致更严重的法律后果。
- 制定长期还款规划：根据与开发商协商的结果和自身的经济状况，制定一个长期的还款规划。确保在未来的还款过程中，能够按照新的还款方案按时足额还款，避免再次出现逾期情况，从而解决纠纷，维护自己的信用记录。