公司名称变更不影响原劳动关系的履行，双方应继续按原劳动合同约定履行各自的权利和义务。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十三条明确规定：“用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。”这一条款直接说明了公司名称的变更并不构成对劳动合同关系的实质性影响，为处理公司名称变更后的劳动关系提供了明确的法律基础。

二、劳动关系保持不变

1. 实质内容未变：公司名称只是公司的外在标识，变更名称并不改变公司作为用人单位的主体资格，也不影响其与劳动者之间建立的劳动关系的实质内容。因此，原劳动合同在公司名称变更后依然具有法律约束力。
2. 无需重新签订：双方无需因公司名称变更而重新签订劳动合同，应按原合同约定继续履行。这既保护了劳动者的权益，也避免了因重新签订合同而可能产生的纠纷和成本。

三、相关手续办理与更新

1. 及时告知：公司有义务将名称变更的事宜及时告知员工，确保员工知晓并理解这一变化。这可以通过书面通知、公司内部公告或召开全体员工大会等方式进行，以维护员工的知情权。
2. 合同变更手续：虽然原劳动合同继续有效，但为了避免后续可能出现的混淆或潜在问题，建议双方协商一致，对劳动合同中的公司名称等相关信息进行变更。这通常涉及签署一份劳动合同变更协议，明确说明公司名称变更的情况，并经劳动者签字、公司盖章后生效。
3. 更新劳动档案：公司还需及时更新与员工劳动关系相关的各类文件和记录，如员工档案、工资单、考勤记录、社保和公积金缴纳记录等，以反映公司的新名称，确保劳动档案的准确性和完整性。

四、特殊情况处理

1. 特定条款约定：如果劳动合同中明确约定了公司名称变更视为劳动合同变更的条款，那么双方应就变更后的劳动合同内容进行协商，并达成一致后签订书面协议。这种情况下，双方需特别注意合同条款的明确性和合法性，以避免后续纠纷。
2. 劳动争议解决：若双方无法就变更事宜达成一致，可能会引发劳动争议。此时，双方应通过友好协商解决；协商不成的，可依法向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼。在争议解决过程中，双方需保留好相关证据，以便维护自己的合法权益。

五、社保及其他福利保障

公司名称变更后，应及时到社保、公积金等部门办理名称变更手续，确保员工的社保、公积金等福利待遇的缴纳和享受不受影响。这是维护员工权益、保障公司正常运营的重要一环。公司需特别注意社保和公积金账户信息的更新，以避免因信息不符而导致的待遇享受问题。

综上所述，公司变更名称时，应遵循法律法规的规定，确保劳动关系的稳定与连续。通过及时告知、更新相关手续和档案、妥善处理特殊情况以及保障员工福利待遇等措施，可以有效应对公司名称变更带来的挑战，维护公司与员工双方的合法权益。如果您在公司名称变更过程中遇到任何法律问题或困惑，欢迎随时向我咨询。