仲裁裁决被法院撤销后，当事人确实可以向人民法院提起诉讼。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国仲裁法》第九条的规定：“仲裁实行一裁终局的制度。裁决作出后，当事人就同一纠纷再申请仲裁或者向人民法院起诉的，仲裁委员会或者人民法院不予受理。裁决被人民法院依法裁定撤销或者不予执行的，当事人就该纠纷可以根据双方重新达成的仲裁协议申请仲裁，也可以向人民法院起诉。”这一规定明确了在仲裁裁决被法院撤销或不予执行的情况下，当事人享有重新选择争议解决方式的权利，包括向人民法院提起诉讼。

二、具体情形分析

1. 仲裁裁决被撤销的原因：

   • 当事人在合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的；
   • 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的；
   • 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的；
   • 裁决所依据的证据是伪造的；
   • 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的；
   • 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的。

2. 撤销后的法律后果：

   • 仲裁裁决一旦被法院撤销，即失去法律效力，对双方当事人不再具有约束力。
   • 当事人可以基于原纠纷，根据双方重新达成的仲裁协议再次申请仲裁，或者直接向人民法院提起诉讼。

3. 重新选择争议解决方式：

   • 如果双方能够重新达成仲裁协议，可以选择再次进行仲裁。
   • 如果无法达成新的仲裁协议，或者一方不愿意再进行仲裁，则可以直接向人民法院提起诉讼。

三、注意事项

1. 诉讼时效：当事人在仲裁裁决被撤销后提起诉讼时，应注意诉讼时效的问题，确保在法定的诉讼时效期间内提起诉讼，以免丧失胜诉权。
2. 证据准备：由于仲裁裁决已被撤销，当事人需要重新准备证据来支持其诉讼请求。这要求当事人对案件事实有清晰的了解，并能够提供充分的证据来证明自己的主张。
3. 程序选择：当事人应根据具体情况和自身需求，合理选择是通过仲裁还是诉讼来解决纠纷。仲裁和诉讼各有优缺点，当事人应根据案件性质、争议金额、时间成本等因素进行综合考虑。

四、实例说明

假设甲和乙之间因合同纠纷申请了仲裁，仲裁庭作出了裁决。但后来，甲发现仲裁庭在仲裁过程中存在违反法定程序的情况，于是向法院申请撤销该仲裁裁决。法院经审查后，裁定撤销了该仲裁裁决。此时，甲和乙之间的合同纠纷尚未得到解决。甲可以选择与乙重新达成仲裁协议，再次申请仲裁；或者，甲可以直接向人民法院提起诉讼，要求法院对合同纠纷进行审理并作出判决。

综上所述，仲裁裁决被法院撤销后，当事人确实有权向人民法院提起诉讼。在实际操作中，当事人应根据具体情况和自身需求，合理选择争议解决方式，并注意诉讼时效、证据准备等问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。