有权遣返外国人的部门主要是公安机关，具体来说，是公安机关的出入境管理机构。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国出境入境管理法》的相关规定，外国人有下列情形之一的，不准出境，并可以遣送出境：被处限期出境，未在规定期限内离境的；有不准入境情形的；非法居留、非法就业的；违反本法或者其他法律、行政法规需要遣送出境的。这些情形下，公安机关的出入境管理机构有权作出遣送出境的决定。
执行流程：
- 当发现外国人存在需要遣送出境的情形时，公安机关的出入境管理机构会进行调查核实，并根据调查结果作出决定。
- 决定遣送出境的，会出具遣送出境决定书，并通知被遣送出境的外国人。
- 在执行遣送出境时，公安机关的出入境管理机构会确保被遣送出境的外国人安全、有序地离开中国境内。
特殊情况处理：
- 如果被遣送出境的外国人表示愿意接受处罚并立即离境，且符合相关条件的，公安机关的出入境管理机构可以酌情考虑从轻处理，如缩短停留期限或者免予遣送出境。
- 对于被遣送出境的外国人，如果其在规定期限内再次入境或者违反其他法律、行政法规的，公安机关的出入境管理机构将依法予以处理，并可能再次作出遣送出境的决定。
国际合作与协助：
- 在遣返外国人的过程中，公安机关的出入境管理机构可能会与其他国家的移民机构或执法部门进行合作与协助，以确保遣返工作的顺利进行。
- 这种国际合作与协助可能涉及信息共享、联合行动、人员交接等多个方面，旨在共同打击非法移民活动，维护国际社会的安全和稳定。
法律建议：
- 对于外国人来说，在中国境内应当遵守中国的法律法规，尊重中国的社会习俗和文化传统。如果因违反法律法规而被遣送出境，将对其未来的入境和居留产生不利影响。
- 如果外国人对遣送出境的决定有异议，可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。
可能后果：
- 被遣送出境的外国人将失去在中国境内的合法居留资格，并可能面临未来一段时间内禁止入境的限制。
- 如果被遣送出境的外国人再次非法入境或者违反其他法律、行政法规，将可能面临更严厉的法律制裁。
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