合同违约责任的承担方式主要包括以下几种，我将结合法律条款与实际案例为您详细说明：

1. 继续履行

法律基础：根据《民法典》第五百七十七条，违约方需按合同约定继续履行义务。
适用场景：适用于合同标的可强制履行的情况（如货物交付、服务提供）。
案例：甲与乙签订买卖合同，约定甲向乙交付100吨钢材。若甲仅交付50吨后拒不继续交付，乙可要求甲补足剩余50吨，法院可强制甲履行。
注意：若合同已无法履行（如标的物灭失），则无法主张继续履行。

2. 采取补救措施

法律基础：同《民法典》第五百七十七条，违约方需通过修理、重作、更换等方式弥补损失。
适用场景：适用于合同标的存在质量瑕疵但可修复的情况（如货物质量不合格、服务未达标）。
案例：甲委托乙装修房屋，乙使用的涂料不符合环保标准。甲可要求乙更换合格涂料或重新施工。
注意：补救措施需以“合理”为前提，若成本过高或技术不可行，可能转为赔偿损失。

3. 赔偿损失

法律基础：根据《民法典》第五百八十四条，违约方需赔偿守约方因违约造成的实际损失，包括直接损失和可预见的间接损失。
计算方式：

• 直接损失：如货物差价、额外支出费用（如重新采购的差价、运输费）。
  
• 间接损失：如因违约导致的利润损失（需证明损失与违约的因果关系）。
  案例：甲与乙签订供货合同，约定甲于10月1日交货，乙需支付货款100万元。若甲逾期交货导致乙错过销售旺季，损失利润20万元。乙可要求甲赔偿货款利息（直接损失）及20万元利润损失（间接损失）。
  注意：赔偿范围以“可预见性”为限，若违约方在签约时无法预见损失，可能无需赔偿。

4. 支付违约金

法律基础：根据《民法典》第五百八十五条，合同可约定违约金条款，违约方需按约定支付。
适用规则：

• 若违约金低于实际损失，守约方可请求法院增加；
  
• 若违约金过高（超过实际损失30%），违约方可请求法院减少。
  案例：甲与乙签订租赁合同，约定乙逾期支付租金需按日支付违约金100元。若乙逾期30天，实际损失为500元（利息+催款费用），但违约金达3000元。此时乙可请求法院将违约金调减至合理范围（如800元）。
  注意：违约金与赔偿损失不可同时主张，需择一适用。

5. 定金罚则

法律基础：根据《民法典》第五百八十七条，收受定金方违约需双倍返还定金，支付定金方违约则定金不予退还。
适用条件：

• 合同需明确约定“定金”条款（如“订金”“押金”不适用）；
  
• 定金数额不得超过主合同标的额的20%。
  案例：甲与乙签订买卖合同，约定甲支付定金2万元，乙需于15日内交货。若乙未交货，甲可要求乙返还4万元（双倍定金）；若甲未付款，乙可没收2万元定金。
  注意：定金与违约金不可同时适用，需择一主张。

综合建议

1. 合同签订阶段：明确约定违约责任条款（如违约金比例、定金数额），避免模糊表述。
   
2. 违约发生后：
   
   • 优先协商，固定证据（如聊天记录、书面催告函）；
     
   • 若协商无果，及时起诉或申请仲裁，注意诉讼时效（3年）。
     
3. 损失证明：保留相关票据、合同、沟通记录等证据，以支持赔偿主张。

如有具体合同纠纷，可直接向我咨询，我将结合案情为您制定解决方案。