结论：若要对省政府下属的部门提起行政诉讼，一般应向该部门所在地的中级人民法院提起诉讼。但具体管辖法院还需根据案件的具体情况来确定。
分析说明：
级别管辖：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，对国务院部门或者县级以上地方人民政府所作的行政行为提起诉讼的案件，由中级人民法院管辖。省政府下属的部门，在行政级别上通常可视为与县级以上地方人民政府的工作部门相当，因此，对其提起的行政诉讼，一般应由中级人民法院管辖。
地域管辖：
- 行政诉讼的地域管辖通常遵循“原告就被告”的原则，即行政案件由最初作出行政行为的行政机关所在地人民法院管辖。因此，若要对省政府下属的部门提起行政诉讼，应向该部门所在地的人民法院提起。
特殊情况：
- 如果案件涉及不动产，如土地、房屋等，那么应由不动产所在地的人民法院专属管辖。
- 如果经过复议的案件，复议机关改变了原行政行为的，也可以由复议机关所在地人民法院管辖。
- 对于某些特殊类型的行政案件，如海关处理的案件、因不动产提起的行政诉讼同时涉及其他行政行为的等，可能还有其他的管辖规定。
法律建议：
- 在提起行政诉讼前，建议先仔细研究相关法律法规，了解具体的管辖规定，以确保案件能够被正确受理。
- 如果对管辖法院有疑问或不确定，可以咨询专业律师或相关法律机构，以获取更准确的法律意见。
- 在准备提起诉讼时，应收集并整理好相关证据材料，以便在诉讼过程中能够充分证明自己的主张。
后续行动：
- 若您决定对省政府下属的部门提起行政诉讼，并已确定了管辖法院，接下来应按照法院的要求准备并提交起诉状及相关证据材料。
- 在诉讼过程中，应积极配合法院的工作，按时参加庭审等活动，并遵守法庭纪律。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律意见。