结论：欠银行的钱但未被列入失信被执行人名单（非“黑户”）的情况下，通常可以办理银行卡，但需分情况讨论。

1. 若欠款未进入诉讼或执行阶段
   银行在办理储蓄卡（借记卡）时，主要审核身份信息真实性，一般不会主动查询个人征信或负债情况。因此，即使存在未结清的贷款或信用卡欠款，只要未被法院列为失信被执行人，通常可以正常办理储蓄卡。但需注意：

   • 部分银行可能因内部风控要求，对高负债客户限制办卡（如要求提供收入证明或降低额度），但这种情况较少见；
     
   • 若欠款涉及该银行（如欠该行信用卡未还），银行可能通过内部系统限制新卡办理，但其他银行的储蓄卡不受影响。

2. 若欠款已进入诉讼或执行阶段但未被列为失信被执行人
   即使银行起诉欠款人，只要法院未作出“限制高消费”或“纳入失信被执行人名单”的判决，个人信用记录中仅显示“逾期”或“诉讼中”，仍可办理储蓄卡。但需注意：

   • 法院可能冻结欠款人名下部分银行账户（如工资卡），但新办的储蓄卡通常不会被直接冻结，除非法院明确要求银行协助执行；
     
   • 若欠款涉及该银行，银行可能通过内部系统限制新卡功能（如禁止大额转账）。

3. 若已被列为失信被执行人（“黑户”）
   此时将无法办理任何银行的储蓄卡或信用卡，因为法院会通过银行系统限制失信被执行人开设新账户。但根据您的问题描述，您明确“不是黑户”，因此此情况不适用。

建议：

• 办理前可先通过中国人民银行征信中心查询个人信用报告，确认无“失信被执行人”记录；
  
• 若欠款涉及特定银行，建议优先选择其他银行办卡；
  
• 及时与欠款银行沟通还款计划，避免诉讼风险升级。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的法律风险。