结论前置：劳务派遣员工在工作期间受伤，责任承担主体需根据具体情况分析，主要涉及劳务派遣公司和用工单位。一般来说，劳务派遣公司作为用人单位需承担工伤保险责任，用工单位若存在过错则需承担连带赔偿责任。以下是详细分析：
一、法律关系及责任主体认定
劳务派遣公司与员工的关系：
- 劳务派遣公司与员工之间存在劳动关系，劳务派遣公司是法定的用人单位，应履行对劳动者的义务，包括缴纳工伤保险、申请工伤认定、支付工伤待遇等。
责任主体划分：
- 劳务派遣公司责任：作为用人单位，劳务派遣公司需承担工伤保险责任。若员工在工作期间受伤，劳务派遣公司应依法为其申请工伤认定，并支付相应的工伤待遇。如未依法缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付费用。
- 用工单位责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，用工单位若给被派遣劳动者造成损害，如未提供安全工作环境、未进行必要安全培训等，应与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
二、具体情形分析
正常履行工作职责受伤：
- 在此情形下，劳务派遣公司作为用人单位，应承担工伤保险责任，为员工申请工伤认定，并支付医疗费、伤残津贴等费用。
用工单位存在过错：
- 若用工单位存在过错，如设备故障未及时维修、违规指挥等，导致员工受伤，则用工单位需与劳务派遣公司共同承担赔偿责任。具体比例可根据双方过错程度协商确定，或由法院判决。
第三方侵权导致：
- 若员工受伤是由第三方侵权导致的，员工可要求第三方承担赔偿责任。同时，劳务派遣公司仍需承担工伤保险责任，为员工申请工伤认定并支付相应待遇。
非因工负伤/患病：
- 若员工非因工负伤或患病，劳务派遣公司需按医疗期规定处理，期间不得解除劳动合同，并支付相应的医疗期工资。
三、工伤认定与赔偿流程
工伤认定申请：
- 劳务派遣公司应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。特殊情况下可延长时限。若公司未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。
- 申请材料包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明等。
劳动能力鉴定：
- 经治疗伤情相对稳定后，员工可向劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，确定伤残等级。
工伤保险基金支付：
- 认定为工伤后，由工伤保险基金支付医疗费、康复费等费用。构成伤残的，按伤残等级支付一次性伤残补助金等。
单位支付部分：
- 用工单位需支付停工留薪期工资福利待遇，劳务派遣公司承担连带责任。若用工单位存在过错导致员工受伤，还需按过错比例支付额外赔偿。
四、争议解决途径
若各方对责任承担存在争议，可通过以下方式解决：
- 协商调解：优先通过三方协商或工会介入解决，以达成和解协议。
- 劳动仲裁：向劳动合同履行地或劳务派遣公司所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，由仲裁委员会作出裁决。
- 诉讼维权：对仲裁结果不服的，可向人民法院提起诉讼，由法院作出最终判决。
温馨提示：劳务派遣员工在工作期间受伤时，应及时保留相关证据，如医疗记录、工作证明等，以便后续申请工伤认定和赔偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。