结论前置：持有公司百分之五十一股权的股东，即绝对控股股东，在公司决策和运营中拥有显著的影响力，其权利广泛且多样，但必须依法合规行使。这些权利主要涵盖自益权和共益权两大方面。
一、自益权
自益权是股东为自身利益而行使的权利，对于持有51%股权的股东而言，这些权利尤为具体且重要：
利润分配权：股东有权按照其实缴的出资比例分取公司的红利。例如，若公司年度可分配利润为1000万元，持有51%股权的股东理论上可分得510万元，这是其股权比例的直接体现。
剩余财产分配权：在公司解散并进行清算时，支付完清算费用、职工薪酬、税费及清偿债务后，剩余的财产将按照股东的出资比例或持股比例进行分配。持有51%股权的股东在此环节同样享有优先权。
新股优先认购权：当公司决定增资时，股东有权按照其实缴的出资比例优先认缴新增的资本。如公司增资1000万元，持有51%股权的股东可优先认购510万元，这有助于其保持或扩大在公司中的股权比例。
分红权：根据公司章程和法律规定，股东有权按照其持股比例获得公司盈利后的分红。这是股东投资回报的直接体现，也是自益权的重要组成部分。
二、共益权
共益权是股东为公司利益和股东整体利益而行使的权利，对于持有51%股权的股东而言，这些权利使其在公司决策中占据主导地位：
表决权优势：在股东大会上，控股股东因其持股比例较高，具有显著的表决权优势。这使其能够决定公司的重大事项，如修改公司章程、选举和罢免董事及监事、审议和批准财务预算和决算等。
董事会成员提名与选举权：控股股东通常能够确保其提名的候选人当选为公司董事，从而控制公司的经营管理层。这有助于其实现公司的战略目标和经营理念。
股东会或股东大会召集和主持权：当董事会或监事会不履行召集股东大会的职责时，持有51%股权的股东有权自行召集和主持股东大会。这确保了其能够及时、有效地参与公司决策。
提案权：单独或合计持有3%以上股份的股东（控股股东当然满足此条件）可在股东大会前提出临时提案。这使其能够就公司的重要事项提出自己的意见和建议，影响公司决策。
知情权：股东有权查阅、复制公司章程、会议记录、决议及财务会计报告等文件，并可要求查阅会计账簿。这有助于其了解公司的经营和财务状况，保护其合法权益。
监督权：当董事、高级管理人员行为损害公司利益时，股东有权要求纠正，并可通过法律途径追究责任。这有助于维护公司的整体利益和股东的共同权益。
三、权利行使的边界与责任
虽然控股股东在公司中具有显著影响力，但其权利行使并非无限制。控股股东必须遵守公司章程、法律法规及与其他股东的协议，不得滥用股东权利或损害公司及其他股东的利益。否则，其将面临法律制裁和声誉损失。因此，控股股东在行使权利时，应秉持诚信、公正原则，维护公司整体利益和股东间的公平。
法律建议：作为持有51%股权的股东，在享受广泛权利的同时，也应承担相应的责任和义务。建议控股股东在行使权利时，充分了解相关法律法规和公司章程的规定，确保决策合法合规；同时，积极与其他股东沟通协商，共同推动公司的健康、稳定发展。如有任何法律疑问或需要进一步的法律支持，请直接向我咨询。