结论：第一顺位抵押债权清偿后，清偿人（即原第一顺位抵押权人）在一般情况下并不直接享有优先于第二顺位抵押权人的权利，但在特定情形下，如涉及剩余财产分配或抵押物价值超出债权部分，原第一顺位抵押权人可能仍保留一定的优先权或相关权益。以下是对此问题的详细分析：

1. 抵押权顺位的基本原则：

   • 抵押权的顺位是根据抵押权设立的时间先后确定的，先设立的抵押权优先于后设立的抵押权。
   • 在抵押物被拍卖或变卖时，按照抵押权的顺位依次受偿。第一顺位抵押权人优先于第二顺位抵押权人受偿，这是抵押权顺位制度的基本原则。

2. 第一顺位抵押债权清偿后的情形：

   • 当第一顺位抵押债权得到完全清偿后，该抵押权即告消灭。此时，原第一顺位抵押权人不再对抵押物享有抵押权。
   • 在此情况下，如果抵押物的价值足以清偿所有抵押债权，那么第二顺位抵押权人将按照其顺位受偿剩余部分。原第一顺位抵押权人因已得到清偿，不再参与剩余财产的分配。

3. 特殊情形下的优先权或相关权益：

   • 剩余财产分配：如果抵押物的价值在清偿第一顺位抵押债权后仍有剩余，且该剩余部分不足以清偿第二顺位抵押债权，那么原第一顺位抵押权人虽然不再享有抵押权，但在某些情况下（如抵押物处置过程中存在其他优先权或费用需要扣除），可能仍对剩余财产的分配有一定的影响或参与权。不过，这种影响或参与权并非直接源于其原第一顺位的抵押权，而是可能源于其他法律规定或合同约定。
   • 抵押物价值超出债权部分：如果抵押物的价值远超过第一顺位抵押债权，且在清偿第一顺位抵押债权后仍有大量剩余，那么这部分剩余价值在法律上可能被视为抵押人的其他财产。原第一顺位抵押权人虽然不再对抵押物享有抵押权，但如果其与抵押人之间存在其他合同关系或法律关系（如债权转让、担保合同等），可能仍对这部分剩余价值有一定的权益或请求权。然而，这种权益或请求权并非基于其原第一顺位的抵押权，而是基于其他法律关系。

4. 法律建议：

   • 对于原第一顺位抵押权人而言，在第一顺位抵押债权得到清偿后，应关注抵押物的处置情况和剩余财产的分配情况，以确保自己的合法权益不受侵害。
   • 如果原第一顺位抵押权人与抵押人之间存在其他合同关系或法律关系，且这些关系可能涉及抵押物的剩余价值或相关权益，那么应及时咨询专业律师，以明确自己的权利和义务，并采取相应的法律措施来保护自己的权益。

总结：第一顺位抵押债权清偿后，清偿人一般不直接享有优先于第二顺位抵押权人的权利。但在特定情形下，如涉及剩余财产分配或抵押物价值超出债权部分，原第一顺位抵押权人可能仍保留一定的优先权或相关权益。因此，在处理此类问题时，应综合考虑各种因素，并咨询专业律师以获取准确的法律意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。