针对您提出的“非本人签字放弃失地农民社保，当地政府机关不办理应承担什么责任”的问题，我们可以从法律和政策的角度进行详细分析。
首先，我们要明确的是，非本人签字放弃社保权益是无效的。根据相关法律法规和政策，公民的民事权利能力始于出生、终于死亡，作为具有完全民事行为能力的成年人，有权依法自主决定并处分自己的民事权利，包括社保权益。在未经本人明确授权或事后追认的情况下，他人无权代为放弃这些权益。这一点在类似案例中，如衡阳市珠晖区人民法院审理的侵害集体经济组织成员权益纠纷案中得到了明确体现，法院认为父亲在未征得女儿同意的情况下代表女儿放弃相关权利是无效的。
接下来，我们分析当地政府机关在不办理此类情况时应承担的责任：
行政责任：
- 如果当地政府机关在明知非本人签字放弃社保权益的情况下，仍然拒绝办理相关手续，这可能构成行政不作为或滥用职权。根据《中华人民共和国社会保险法》等相关法律法规，政府机关有义务保障公民的社保权益，不得无故拒绝或拖延办理。
- 在此情况下，公民有权向上一级政府机关或相关监督部门投诉，要求政府机关履行其法定职责。如果政府机关的行为被认定为违法，相关责任人员可能会受到行政处分。
民事责任：
- 如果因政府机关的不作为或违法行为导致公民的社保权益受到损害，公民有权要求政府机关承担民事赔偿责任。这包括赔偿因未办理社保而导致的直接经济损失，如养老金、医疗保险待遇等。
刑事责任（在极端情况下）：
- 如果政府机关或其工作人员以欺诈、伪造证明材料或其他手段骗取社会保险待遇或基金支出，且数额较大或情节严重，可能构成犯罪，依法应追究刑事责任。这通常涉及更严重的违法行为，如贪污、受贿等。
信用惩戒：
- 根据《社会保险领域严重失信人名单管理暂行办法》等相关规定，如果政府机关或其工作人员在社保业务办理过程中存在严重失信行为，如违规办理、骗取社保待遇等，可能会被列入社会保险严重失信人名单，并受到相应的信用惩戒。
建议：
- 如果您遇到非本人签字放弃社保权益而当地政府机关不办理的情况，首先应收集相关证据，如签字文件、身份证明、沟通记录等。
- 然后，您可以向当地政府机关的上级部门或相关监督部门投诉，要求其履行法定职责并调查处理。
- 如果问题仍未得到解决，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如提起行政诉讼或民事诉讼。
总之，非本人签字放弃社保权益是无效的，当地政府机关有义务保障公民的社保权益。如果政府机关不履行其法定职责或存在违法行为，公民有权要求其承担相应的责任。