针对您提出的“员工打架住院是否可以开除”的问题，这确实是一个涉及多方面因素的复杂情况。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，我们需要明确的是，员工打架斗殴，公司能否开除并非一概而论，而是需要综合考虑法律依据、公司规章制度、行为严重程度、开除程序以及是否存在特殊情况等多个方面。

一、法律依据

根据《劳动合同法》第三十九条的规定，如果劳动者严重违反用人单位的规章制度，或者被依法追究刑事责任，用人单位是有权解除劳动合同的。同时，《治安管理处罚法》第四十三条也对殴打他人或故意伤害他人身体的行为规定了相应的治安处罚。

二、公司规章制度

公司规章制度是处理此类问题的关键。规章制度中必须明确规定打架斗殴属于严重违纪行为，并且这一规定需要经过民主程序制定，同时已经向员工进行了公示。如果规章制度中没有这样的规定，或者制定程序不合法，那么公司就不能仅仅以打架斗殴为由开除员工。

三、行为严重程度

打架斗殴行为的严重程度也是决定是否可以开除的重要因素。如果打架行为造成了人员伤害、财产损失，或者对公司秩序和声誉造成了恶劣影响，那么这样的行为通常会被视为严重违纪，可以作为开除的依据。然而，如果只是轻微的争执或推搡，通常并不构成开除的条件。

四、开除程序

在决定开除员工之前，公司需要进行充分的调查，了解事情的经过和原因，并听取员工的陈述和申辩。在决定开除之前，公司应该告知员工其违纪行为和开除的理由，并给予员工合理的申辩机会。这是确保开除程序正当性的重要步骤。

五、经济补偿与特殊情况

如果公司规章制度明确规定打架斗殴为严重违纪行为，并且开除程序合法，那么公司无需支付经济补偿金。但如果规章制度中没有这样的规定，或者开除程序不合法，那么公司就可能构成违法解除劳动合同，需要支付经济补偿金。此外，还有一些特殊情况需要考虑，比如员工打架是为了维护公司利益，或者员工因对公司不满而故意制造矛盾打架等。

综合建议

在处理员工打架斗殴问题时，我建议公司采取以下措施：

1. 完善规章制度，明确打架斗殴等违纪行为的界定和处理办法。
2. 加强员工教育培训，提高员工的法律意识和职业素养，预防类似事件的发生。
3. 建立健全纠纷解决机制，及时化解员工之间的矛盾和纠纷，避免事态升级。
4. 在开除员工时，严格遵守法定程序和规章制度要求，确保处理结果的合法性和合理性。

综上所述，员工打架住院是否可以开除并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要综合考虑多个因素后做出的决定。希望我的解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。