结论：案子终本且未将被执行人纳入失信被执行人名单的情况下，被执行人通常可以办理新卡，但存在一定限制和风险，具体如下：

1. 办理新银行卡的情况
   银行在办理储蓄卡（借记卡）时，主要审核申请人身份信息及开户合规性（如反洗钱要求）。若被执行人未被纳入失信名单，且无其他银行内部风控限制（如频繁开户、涉案账户关联等），一般可以正常办理储蓄卡。
   但需注意：部分银行可能通过内部系统或第三方数据（如执行信息公开网）查询到被执行人信息，从而拒绝开户或限制功能（如降低转账额度）。

2. 办理新信用卡的情况
   信用卡申请需审核申请人信用记录及还款能力。即使未被纳入失信名单，若被执行人存在未履行生效法律文书的记录（如终本案件未结），银行可能通过征信报告或执行信息联网系统发现该情况，进而拒绝发卡或降低授信额度。
   此外，若被执行人已被限制高消费（即使未纳入失信名单），部分银行可能将“限制高消费”视为信用风险指标，影响信用卡审批。

3. 潜在风险与限制

   • 执行措施扩展：若终本案件恢复执行，法院可能后续将被执行人纳入失信名单或限制高消费，此时其银行卡功能（如非柜面交易、大额转账）可能被限制。
     
   • 银行自主风控：部分银行对涉诉人员采取更严格的风控措施，即使未被法院明确限制，也可能拒绝开户或冻结账户。
     
   • 刑事风险：若被执行人存在隐匿财产、逃避执行等行为，可能涉嫌拒不执行判决、裁定罪，此时不仅银行卡办理受限，还可能面临刑事处罚。

建议：

• 若需办理银行卡，建议提前咨询具体银行关于开户政策及风控要求；
  
• 若终本案件涉及未履行义务，应主动与法院或申请执行人沟通，争取解除执行措施，避免后续限制扩大；
  
• 如遇银行拒绝开户或限制功能，可要求银行出具书面说明，并核实是否基于法院执行措施或银行内部规定。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件情况。