结论：在夫妻共同贷款一方身亡，且无力承担银行要求的每月6000元月供的情况下，是可以与银行进行协商的。以下从多个角度进行分析和建议：
一、法律背景与依据
共同债务的性质：
- 夫妻共同贷款，通常视为夫妻双方的共同债务。在一方身亡后，另一方作为共同债务人，仍然有义务继续偿还贷款。但这并不意味着必须按照原定的还款计划不变，特别是在还款能力发生变化的情况下。
协商还款的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债务人因特殊原因（如经济困难、健康问题等）无法按原定计划偿还债务时，可以与债权人协商变更还款计划。这为与银行协商提供了法律依据。
二、协商还款的可能性与途径
与银行直接协商：
- 主动沟通：首先，应主动与银行联系，说明当前的经济状况和还款困难，表达协商还款的意愿。
- 提供证明：为了增加协商的成功率，可以提供相关的经济困难证明，如收入证明、医疗费用单据等。
- 提出方案：根据自己的实际情况，提出一个切实可行的还款方案，如延长还款期限、降低月供金额等。
寻求第三方协助：
- 消费者协会或金融监管机构：如果与银行协商无果，可以向当地的消费者协会或金融监管机构投诉，寻求他们的帮助和调解。
- 法律援助：在极端情况下，如果认为自己无法独自应对，可以寻求法律援助，咨询专业律师的意见，甚至通过法律途径解决纠纷。
三、协商还款的注意事项
保持诚信：
- 在协商过程中，应如实说明自己的经济状况和还款能力，避免夸大或隐瞒事实，以免影响协商结果。
保留证据：
- 所有与银行的沟通记录、协商方案、证明材料等，都应妥善保存，以备不时之需。
关注信用记录：
- 协商还款期间，应关注自己的信用记录，确保按时履行协商后的还款义务，避免对信用造成不良影响。
四、可能面临的法律后果
如果协商成功：
- 按照协商后的还款计划履行义务，将不会面临法律纠纷和信用损失。
如果协商失败且未履行还款义务：
- 银行可能会采取法律手段追讨债务，如起诉至法院要求强制执行。
- 这将对个人信用造成严重影响，甚至可能面临资产被查封、冻结等风险。
建议：在面临此类情况时，应首先尝试与银行进行友好协商，提出切实可行的还款方案。如果协商无果，再考虑寻求第三方协助或法律援助。同时，应关注自己的信用记录，确保按时履行还款义务。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。