您已积极履行了初步的赔偿责任，这是非常值得肯定的。接下来，您可以考虑以下措施来进一步妥善处理此事并预防未来类似事件的发生：

1. 确认责任划分与免责情形：

   • 首先，回顾店内是否设置了明显的宠物警示标识，以及是否采取了合理的安全措施（如将猫隔离在特定区域、提供防护用品等）。如果已尽到合理注意义务，且顾客存在故意挑逗、忽视警示等行为，您可能在一定程度上减轻或免除责任。但鉴于您已主动赔偿，此步骤更多是为了未来风险防范。
   • 若顾客无过错，您已承担的疫苗及交通费用是合理的。但需注意，若顾客后续提出其他赔偿要求（如误工费、精神损害抚慰金等），需根据实际情况及法律规定判断是否应承担。

2. 完善店内宠物管理措施：

   • 隔离措施：将猫安置在顾客无法直接接触的区域，如专用房间或笼子内，并设置明显的“宠物区域，请勿靠近”标识。
   • 监督与提醒：安排员工在店内巡查，及时提醒顾客注意宠物安全，避免儿童单独接近宠物。
   • 应急准备：店内备有急救包，包含消毒用品、创可贴等，并张贴紧急联系电话（如附近医院、宠物医院联系方式）。

3. 与顾客沟通并记录：

   • 沟通态度：保持诚恳，表达对顾客受伤的歉意，并说明已采取的改进措施，以重建信任。
   • 书面记录：若可能，与顾客签订一份简单的和解协议，明确双方已就本次事件达成和解，您已承担相应费用，顾客不再就此事提出其他要求。这有助于避免未来纠纷。

4. 保险考虑：

   • 评估是否需要为店铺购买公众责任险，以覆盖因宠物、设施等原因导致顾客受伤的潜在赔偿责任。这能有效分散经营风险。

5. 法律合规性检查：

   • 确认店铺经营是否涉及需要特殊许可或备案的宠物相关活动（如宠物咖啡馆需办理相关证照）。确保所有经营活动符合当地法律法规要求。

预防未来风险的建议：

• 定期对员工进行安全培训，强调宠物管理的重要性及应急处理流程。
• 考虑在店内安装监控摄像头，以记录宠物与顾客的互动情况，为可能发生的纠纷提供证据支持。

您已展现了良好的责任感，通过上述措施，不仅能更好地解决当前问题，还能为店铺营造一个更安全、和谐的消费环境。如有其他疑问或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询。