结论：员工与公司供应商能否合作与公司完全无关的生意，这并非一个绝对禁止或绝对允许的行为，而是需要根据具体情况、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。
一、公司规章制度的角度
公司政策：首先，需要查看公司的规章制度或员工手册中是否有明确规定员工不得与公司供应商进行任何形式的合作，包括与公司业务无关的生意。如果公司有此类明确规定，那么员工应当遵守，否则可能面临违反公司规章制度的风险，包括但不限于警告、罚款、解雇等。
利益冲突：即使公司规章制度中没有明确禁止，员工也需要考虑是否存在利益冲突的问题。如果员工与公司供应商的合作可能影响到其在本职工作中的判断或行为，或者可能损害公司的利益，那么这种合作可能是不被允许的。
二、法律法规的角度
竞业禁止：如果员工与公司签订了竞业禁止协议，那么员工在离职后的一定期限内（通常根据协议约定）不得在与公司有竞争关系的企业工作或从事与公司业务相关的活动。虽然这主要针对的是离职后的行为，但某些竞业禁止协议也可能对在职期间的行为有所限制，需要仔细审查协议内容。不过，对于与公司完全无关的生意，竞业禁止协议通常不会直接限制。
商业秘密保护：员工在与公司供应商合作时，需要确保不泄露公司的商业秘密或敏感信息。如果合作过程中涉及到了公司的商业秘密，且员工未经授权泄露了这些信息，那么员工可能面临法律责任，包括但不限于民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。
反不正当竞争法：员工与公司供应商的合作如果构成了不正当竞争行为，如串通投标、损害竞争对手的商业信誉等，那么这种合作也是违法的，并可能受到法律的制裁。
三、实际操作建议
咨询公司：在决定与公司供应商合作与公司完全无关的生意之前，员工最好先咨询公司的意见，了解公司对此类合作的态度和规定。
审查协议：如果员工与公司或供应商签订了任何协议或合同，需要仔细审查其中的条款，确保合作不会违反任何协议或合同的规定。
保持透明：如果员工决定进行此类合作，最好保持透明，向公司披露合作的相关信息，以避免不必要的误解和纠纷。
寻求法律意见：如果员工对合作是否合法或是否违反公司规章制度存在疑问，可以寻求专业的法律意见，以确保自己的行为合法合规。
总结与进一步思考：员工与公司供应商合作与公司完全无关的生意，并非一个简单的“可以”或“不可以”的问题。它涉及到公司规章制度、法律法规以及实际操作中的多个方面。因此，在做出决定之前，员工需要综合考虑各种因素，并谨慎行事。如果有任何疑问或不确定之处，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。