赠送的产品出现质量问题，您依然有权要求相关责任方承担相应的法律责任。这主要基于以下几点法律分析：
赠与合同的法律性质：
- 赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受赠与的合同。虽然赠与是无偿的，但赠与的财产应当符合法律规定的质量要求，不得存在瑕疵或缺陷。
- 如果赠与的财产有瑕疵，赠与人在赠与财产的权利转移前可以撤销赠与；但赠与人故意不告知瑕疵或者保证无瑕疵，造成受赠人损失的，应当承担损害赔偿责任。不过，在一般的赠与情况下，若未明确保证无瑕疵，赠与人对轻微瑕疵通常不承担责任。然而，若因产品质量问题导致受赠人遭受损害，赠与人可能需根据具体情况承担一定责任，尤其是当赠与人对产品瑕疵存在过错时。
产品质量的法律责任：
- 根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，生产者、销售者应当对其生产、销售的产品质量负责。如果赠送的产品存在质量问题，且该问题导致了人身伤害或其他财产损失，生产者或销售者应当承担相应的法律责任。
- 这意味着，即使产品是赠送的，只要其存在质量问题并造成了损害，您就有权要求生产者或销售者承担赔偿责任。
具体处理方式：
- 与赠与人沟通：首先，您可以尝试与赠与人沟通，说明产品存在的问题，并要求其协助解决或提供补偿。如果赠与人愿意承担责任，这通常是最快捷、最经济的解决方式。
- 联系生产者或销售者：如果赠与人无法解决问题或拒绝承担责任，您可以联系产品的生产者或销售者，要求其承担产品质量责任。您可以提供产品存在问题的证据，如照片、视频、检测报告等，以支持您的主张。
- 寻求法律援助：如果生产者或销售者拒绝承担责任，或者您与赠与人、生产者/销售者之间的协商无果，您可以考虑寻求法律援助。您可以咨询专业律师（比如我，刘琪律师，专注于婚姻家庭、刑事辩护领域，也处理过不少产品质量相关的侵权案件），了解您的法律权益和可行的法律途径。在必要时，您可以向法院提起诉讼，要求相关责任方承担赔偿责任。
注意事项：
- 在处理赠送产品质量问题时，建议您保留好相关证据，如赠与合同（如果有的话）、产品照片、视频、检测报告、沟通记录等。这些证据将有助于您证明产品存在质量问题以及该问题与您所遭受的损害之间的因果关系。
- 同时，您也需要注意诉讼时效的问题。根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您需要在知道或应当知道权利受到损害以及义务人之日起三年内提起诉讼。
总结来说，赠送的产品出现质量问题时，您依然有权要求相关责任方承担相应的法律责任。您可以先与赠与人沟通，然后联系生产者或销售者要求其承担产品质量责任。如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助并提起诉讼。在整个过程中，保留好相关证据并注意诉讼时效的问题是非常重要的。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。