当您遇到赠送的商品存在质量问题时，您有权要求赔偿。以下是对此问题的详细解答：

首先，明确结论：

赠送的商品出现质量问题，消费者可以要求销售者进行赔偿，赔偿方式包括修理、更换、退货以及价值补偿等。

接下来，详细分析：

1. 赔偿主体与责任：

   • 通常情况下，您可以直接向销售方索赔，销售方需承担修理、更换或退货等责任，以恢复赠品至正常状态或给予相应的价值补偿。
   • 如果问题源于生产厂家，销售方在赔偿后可以向厂家追偿。

2. 法律依据：

   • 根据《民法典》的规定，附义务的赠与中，如果赠与的财产有瑕疵，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。商家以买赠等形式销售商品，可视为附义务赠与，因此赠品有质量问题时，商家应承担相应责任。
   • 《消费者权益保护法》也明确指出，经营者应当保证其提供的商品或服务符合质量要求，包括用于促销的赠品。如果赠品存在质量问题，消费者有权要求修理、更换、退货等，并可在造成人身、财产损害时要求赔偿损失。
   • 《产品质量法》同样规定，生产者、销售者对其生产、销售的产品质量负责，赠品出现质量问题时，消费者可向生产者或销售者索赔。

3. 证据保留与维权途径：

   • 在主张赔偿时，请务必保留好相关证据，如购买凭证、赠品照片、问题描述等，以便更好地维护您的权益。
   • 如果商家拒绝赔偿或协商无果，您可以向当地市场监管部门举报或向消费者协会投诉，甚至通过法律途径维护您的合法权益。

最后，给出建议：

在购买商品时，请留意赠品的品质和质量保证情况。一旦发现赠品存在质量问题，不要因为是赠品就放弃维权。您可以根据上述法律规定和赔偿方式，积极向销售者或生产者主张您的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。