在私立医院出现医疗事故时，责任追究主要依据事故的具体情况、医院的过错程度以及相关法律法规来确定，一般可能追究医院、医务人员或相关第三方的责任。以下从不同角度详细分析：
医院责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十八条，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。私立医院作为医疗机构，同样适用此条款。
- 责任情形：如果私立医院在诊疗过程中存在过错，如诊断错误、治疗不当、未履行告知义务等，导致患者受到损害，医院应当承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围：赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
医务人员责任：
- 法律依据：医务人员作为医院的工作人员，在诊疗活动中因过错造成患者损害的，虽然赔偿责任通常由医院承担，但医务人员可能因违反职业道德或法律法规而受到行政处罚或刑事处罚。
- 责任情形：如果医务人员存在故意或重大过失，如故意违反诊疗规范、未尽到与当时医疗水平相应的诊疗义务等，导致患者受到严重损害，医务人员可能面临吊销执业证书、罚款等行政处罚，甚至可能构成医疗事故罪，承担刑事责任。
第三方责任：
- 责任情形：在某些情况下，医疗事故的发生可能与第三方有关，如医疗器械供应商提供的设备存在质量问题、药品供应商提供的药品存在缺陷等。此时，第三方也可能成为责任追究的对象。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人可以向产品的生产者请求赔偿，也可以向产品的销售者请求赔偿。因此，如果医疗事故是由第三方产品缺陷引起的，患者可以向相关供应商主张赔偿。
建议与行动：
- 收集证据：在发生医疗事故后，患者或其家属应尽快收集相关证据，如病历、检查报告、医疗费用单据等，以便在后续维权过程中提供有力支持。
- 咨询专业律师：医疗事故责任追究涉及复杂的法律问题和医学知识，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和维权策略。
- 及时维权：根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规的规定，患者或其家属应在知道或应当知道权利受到损害之日起一定期限内（通常为三年）向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
在处理私立医院医疗事故责任追究问题时，应综合考虑医院、医务人员和第三方的责任情况，并依据相关法律法规进行维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。