结论：媳妇出轨后，第三者提出私了经济赔偿，这一行为在法律上并不被直接支持，且可能涉及违法风险。以下从多个角度进行详细分析：
法律角度：
- 婚姻关系中的忠诚义务：在婚姻关系中，夫妻双方有相互忠诚的义务。出轨行为违反了这一义务，但并不直接导致出轨方或第三者需要向另一方支付经济赔偿的法律责任。
- 赔偿的法律依据：除非出轨行为同时构成了对另一方人身权益的侵害（如重婚、与他人同居导致精神损害等），且符合相关法律规定（如《民法典》中关于离婚损害赔偿的规定），否则，单纯的出轨行为并不足以成为要求第三者支付经济赔偿的法律依据。
- 私了的法律风险：即使双方私下达成赔偿协议，这种协议也可能因违反法律强制性规定或公序良俗而被认定为无效。此外，如果赔偿金额过高或存在欺诈、胁迫等情形，还可能引发新的法律纠纷。
道德与社会角度：
- 道德谴责：出轨行为无疑会受到道德上的谴责，但这并不等同于法律上的责任。道德和法律是两个不同的范畴，不能混为一谈。
- 社会影响：私了经济赔偿可能引发社会舆论的关注，对双方的名誉和形象造成负面影响。同时，这种行为也可能助长不良风气，破坏社会公序良俗。
实际操作建议：
- 沟通协商：如果双方希望和平解决此事，建议通过沟通协商的方式，就出轨行为对婚姻关系造成的影响进行坦诚交流，并寻求妥善的解决方案。
- 法律途径：如果出轨行为确实对另一方造成了严重的精神损害或其他损失，且符合相关法律规定，可以考虑通过法律途径寻求救济，如提起离婚诉讼并要求损害赔偿。
- 避免私了：鉴于私了经济赔偿存在的法律风险和社会影响，建议双方避免采取这种方式解决问题。
特殊情况说明：如果出轨行为同时构成了重婚罪或破坏军婚罪等刑事犯罪，那么第三者可能面临刑事责任的追究。但即便如此，经济赔偿也不是刑事处罚的一部分，而是需要通过民事诉讼等法律程序来主张。
总结与建议：媳妇出轨后，第三者提出私了经济赔偿并不是一个明智或合法的选择。建议双方通过沟通协商或法律途径来妥善解决此事，以维护双方的合法权益和社会公序良俗。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。