结论：劳动仲裁要求恢复劳动关系期间，劳动者能否去别的公司上班，主要取决于其与原公司的劳动关系状态、是否存在竞业限制或保密义务等特殊约定，以及新公司对此的态度。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系存续且未受特殊限制
一般情况：
- 如果劳动者与原公司的劳动关系尚未解除或终止（如劳动合同仍在有效期内，且未对原公司的工作造成严重影响），且双方未签订竞业限制协议或保密义务等特殊约定，那么劳动者在法律上有权选择去其他公司上班。此时，劳动仲裁主要围绕争议问题进行处理，不影响劳动者的就业权利。
注意事项：
- 劳动者应确保新工作不会干扰到劳动仲裁程序的正常进行，如按时参加仲裁庭审、提交相关材料等。
- 劳动者应如实向新公司说明自己的劳动仲裁情况，避免因隐瞒而导致的法律纠纷。
二、存在竞业限制或保密义务等特殊约定
竞业限制协议：
- 如果劳动者与原公司签订了竞业限制协议，并且在仲裁期间该协议仍然有效，那么劳动者必须遵守协议的约定，不能去与原公司存在竞争关系的公司上班。违反竞业限制可能会导致劳动者承担违约责任，包括支付违约金等。
保密义务：
- 即使没有竞业限制协议，但如果劳动者在原公司工作期间接触到了商业秘密，并且这些商业秘密在仲裁期间仍然具有保密性，劳动者也应承担保密义务，避免去可能会泄露商业秘密的其他公司上班。否则，原公司可以追究劳动者的法律责任。
三、劳动关系已解除或终止
- 如果劳动仲裁的裁决结果明确要求恢复劳动关系，但在此期间劳动者已经与原公司协商一致解除了劳动关系，或者原公司已经单方面解除了劳动关系（且解除行为被仲裁或法院认定为合法），那么劳动者在劳动关系解除或终止后就不需要再到原公司上班，也有权选择去其他公司上班。
四、新公司的态度与影响
- 新公司在聘用劳动者时，可能会考虑其正在进行的劳动仲裁和与原公司的纠纷情况。如果新公司担心法律风险或认为这会影响劳动者的工作表现，可能会拒绝聘用。因此，劳动者在寻找新工作时，应做好充分的沟通和解释工作。
五、法律建议与风险提示
法律建议：
- 在做出决定前，劳动者应充分了解自己的权利和义务，包括与原公司的劳动合同状态、是否存在特殊约定等。
- 劳动者应咨询专业法律意见（即直接向我咨询），以确保自身行为的合法性，并避免不必要的法律风险。
风险提示：
- 如果劳动者在仲裁期间违反竞业限制协议或保密义务等特殊约定，可能会面临法律责任和声誉损失。
- 如果劳动者因新工作而影响到劳动仲裁程序的正常进行，可能会对自己的权益产生不利影响。
总结：劳动仲裁要求恢复劳动关系期间，劳动者能否去别的公司上班是一个复杂的问题，需要综合考虑多种因素。在做出决定前，劳动者应充分了解自己的权利和义务，并咨询专业法律意见以确保自身行为的合法性。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。