在网络上公开侮辱他人且情节恶劣的，可能会面临行政处罚或刑事处罚，具体取决于侮辱行为的严重程度和造成的后果。以下从行政处罚和刑事处罚两个角度进行详细分析：

行政处罚

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。

2. 情节恶劣的认定：

   • 情节恶劣通常指的是侮辱行为手段恶劣、影响恶劣，或者对被害人造成了较大的精神损害等。例如，在网络上公开侮辱他人，且该侮辱行为被大量转发、评论，对被害人的名誉造成了严重损害，或者导致被害人精神受到严重刺激等。

3. 处罚措施：

   • 对于情节恶劣的侮辱行为，公安机关可以依法给予行政拘留或罚款的处罚。行政拘留的期限根据情节的严重程度而定，最长可达十日，并可以并处五百元以下罚款。

刑事处罚

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

2. 情节严重的认定：

   • 情节严重通常指的是侮辱行为造成了严重的社会影响，或者对被害人造成了极大的精神损害等。例如，在网络上公开侮辱他人，且该侮辱行为引发了广泛的关注和讨论，对被害人的名誉造成了极其严重的损害，或者导致被害人自杀、精神失常等严重后果。

3. 处罚措施：

   • 对于情节严重的侮辱行为，人民法院可以依法判处犯罪嫌疑人有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。有期徒刑的期限根据情节的严重程度而定，最长可达三年。

额外建议

• 保留证据：如果遭遇网络侮辱，应尽快保存相关证据，如截图、录音、视频等，以便后续维权。
• 及时报警：如果侮辱行为情节恶劣，应及时向公安机关报案，以便公安机关及时介入调查并依法处理。
• 寻求法律帮助：如果侮辱行为造成了严重的精神损害或经济损失，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。

总结来说，网络上公开侮辱他人且情节恶劣的，可能会面临行政处罚或刑事处罚。具体处罚措施取决于侮辱行为的严重程度和造成的后果。因此，建议大家在网络上发言时要谨慎，尊重他人的名誉权，避免引发不必要的法律纠纷。如果你有任何关于侵权损害（人格权）的法律问题，都可以直接向我咨询。