结论：在此类交通事故中，您既可以找驾驶员要求赔偿，也可以找车主（即租赁公司）要求赔偿，但具体责任承担需根据实际情况来确定。

分析说明：

1. 驾驶员的责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，驾驶员因全责导致您受伤，显然存在过错，因此应当承担相应的赔偿责任。
   • 驾驶员的赔偿责任通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等直接经济损失，以及因伤致残或死亡而产生的残疾赔偿金、死亡赔偿金等。

2. 车主（租赁公司）的责任：

   • 车主（租赁公司）的责任主要取决于其与驾驶员之间的租赁关系以及车主是否存在过错。
   • 如果车主（租赁公司）在租赁过程中没有过错，比如车辆性能正常、驾驶员具备合法驾驶资格等，那么车主通常不直接承担赔偿责任。但根据《中华人民共和国民法典》中关于租赁物致人损害的规定，如果车主（租赁公司）不能证明自己没有过错（如未对车辆进行定期维护、检查，或明知驾驶员不具备合法驾驶资格而仍然出租车辆等），则可能需要承担相应的赔偿责任。
   • 在实际操作中，由于租赁公司通常购买了车辆保险，包括交强险和商业险，因此即使车主需要承担责任，也往往由保险公司来承担赔偿责任。

3. 实际操作建议：

   • 在发生交通事故后，首先应及时报警并保留好相关证据，如现场照片、医疗记录、交警出具的事故责任认定书等。
   • 您可以先与驾驶员协商赔偿事宜，如果驾驶员拒绝赔偿或赔偿金额不合理，您可以考虑向车主（租赁公司）提出索赔要求。
   • 如果车主（租赁公司）也拒绝赔偿或双方无法达成一致，您可以考虑通过法律途径解决纠纷，比如向法院提起诉讼。

特殊场景：

• 如果驾驶员在事故发生后逃逸或无法联系，您可以直接向车主（租赁公司）提出索赔要求，并要求其提供驾驶员的相关信息以便您进一步维权。
• 如果车主（租赁公司）拒绝提供驾驶员信息或拒绝赔偿，您可以考虑向相关部门投诉或寻求法律援助。

后续行动与注意事项：

• 在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。
• 如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。