公司合法辞退员工的流程主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，具体流程根据辞退理由的不同而有所区别，以下分情况详细说明：
一、因员工过错辞退（无需支付经济补偿金）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同，且不需要支付经济补偿金：
在试用期间被证明不符合录用条件的：
- 流程：公司需在试用期内对员工进行考核，若员工不符合录用条件，公司应提前通知员工，并说明辞退理由，办理离职手续。
- 注意事项：公司需有明确的录用条件及考核标准，且考核过程需公正、透明。
严重违反用人单位的规章制度的：
- 流程：公司需有完善的规章制度，且规章制度需经过民主程序制定并公示。员工严重违反规章制度时，公司应收集相关证据，如监控录像、书面警告等，然后通知员工辞退决定，并办理离职手续。
- 注意事项：规章制度需合法、合理，且辞退决定需基于充分证据。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：
- 流程：公司需证明员工存在严重失职或营私舞弊行为，且该行为给公司造成了重大损害。然后通知员工辞退决定，并办理离职手续。
- 注意事项：公司需收集充分证据证明员工行为及损害后果。
劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：
- 流程：公司发现员工与其他单位建立劳动关系且影响本职工作时，应先与员工沟通，要求其改正。若员工拒不改正，公司可通知辞退决定，并办理离职手续。
- 注意事项：公司需证明员工行为对本职工作造成了严重影响。
因《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的（如以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的）：
- 流程：公司发现劳动合同存在无效情形时，应收集相关证据，然后通知员工辞退决定，并办理离职手续。
- 注意事项：公司需证明劳动合同无效的情形及原因。
被依法追究刑事责任的：
- 流程：员工被依法追究刑事责任后，公司可通知辞退决定，并办理离职手续。
- 注意事项：公司需确认员工已被依法追究刑事责任。
二、因非员工过错辞退（需支付经济补偿金）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，但需要支付经济补偿金：
劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的：
- 流程：员工医疗期满后，公司应评估其工作能力。若员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司应提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资，然后通知辞退决定，并办理离职手续及支付经济补偿金。
- 注意事项：公司需证明员工医疗期满后不能从事相关工作。
劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的：
- 流程：员工不能胜任工作时，公司应提供培训或调整工作岗位。若员工仍不能胜任，公司应提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资，然后通知辞退决定，并办理离职手续及支付经济补偿金。
- 注意事项：公司需证明员工不能胜任工作及培训或调岗无效。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的：
- 流程：客观情况发生重大变化时，公司应与员工协商变更劳动合同内容。若协商未果，公司应提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资，然后通知辞退决定，并办理离职手续及支付经济补偿金。
- 注意事项：公司需证明客观情况发生重大变化及协商未果。
三、经济性裁员（需支付经济补偿金）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，有下列情形之一，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位在履行一系列法定程序后，也可以裁减人员：
- 依照企业破产法规定进行重整的；
- 生产经营发生严重困难的；
- 企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；
- 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。
流程：
- 公司需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见；
- 裁减人员方案需经向劳动行政部门报告；
- 实施裁员时，应优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的、家庭无其他就业人员且有需要扶养的老人或者未成年人的员工；
- 通知被裁减的员工辞退决定，并办理离职手续及支付经济补偿金；
- 若公司在六个月内重新招用人员，应当通知被裁减的人员，并在同等条件下优先招用。
经济补偿金计算方法：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
总结与建议：
公司在辞退员工时，必须严格遵守相关法律法规，确保程序的正当性和员工的合法权益。不同辞退理由对应不同的流程和要求，公司应根据实际情况选择合适的辞退方式，并按照规定支付经济补偿金（如适用）。若公司在辞退过程中存在违法行为，员工有权要求继续履行劳动合同或获得赔偿金。因此，建议公司在辞退员工前咨询专业律师，以确保合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。