业主在公共区域卖菜属于违规行为，具体处罚方式需根据实际情况判断，常见处罚方式包括责令停止经营、罚款、没收违法所得等。以下从不同角度详细分析：

1. 从物业管理角度
   根据《物业管理条例》第四十五条，业主或物业使用人不得擅自占用、挖掘物业管理区域内的道路、场地，损害业主共同利益。若业主在公共区域卖菜，物业公司有权要求其停止违规行为、恢复原状；若拒不改正，物业公司可向法院提起诉讼，要求排除妨碍、赔偿损失。

2. 从城市管理角度
   若公共区域属于城市道路、广场等市政设施，业主卖菜行为可能违反《城市市容和环境卫生管理条例》第十四条，未经批准不得擅自占用城市道路摆摊设点。此时，城管部门可依据该条例第三十六条，责令改正、没收违法所得，并处以50元以上2000元以下罚款。

3. 从市场监管角度
   若业主卖菜行为涉及食品销售，需遵守《食品安全法》第三十五条，需依法取得食品经营许可或备案。若未取得许可擅自销售，市场监管部门可依据该法第一百二十二条，没收违法所得、违法经营的食品及工具设备，并处以5万元以上10万元以下罚款；情节严重的，吊销许可证。

4. 从相邻权保护角度
   若卖菜行为产生噪音、异味或占用消防通道，影响其他业主正常生活，受影响业主可依据《民法典》第二百八十八条（处理相邻关系原则）及第二百三十六条（排除妨害请求权），要求卖菜业主停止侵害、排除妨碍。协商不成可向法院起诉，要求停止侵权并赔偿损失。

建议处理步骤：

1. 先由物业公司出面劝阻，留存书面通知及现场照片；
   
2. 若无效，向城管部门举报（拨打12345或城管热线），由其现场执法；
   
3. 若涉及食品安全问题，同步向市场监管部门投诉；
   
4. 若造成严重相邻权侵害，可直接向法院起诉。
   

具体处罚需结合违规性质、持续时间、影响范围等因素综合判定，建议根据实际情况选择合适维权路径。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的法律应对方案。