关于未成年在学校打架，派出所罚款后是否会留案底的问题，这确实是一个涉及法律多个层面的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：

一、行政处罚与案底的关系

首先，需要明确的是，如果未成年人打架情节较轻，违反了《治安管理处罚法》，公安机关会给予行政处罚，如罚款、拘留等。这种治安处罚记录并不等同于犯罪记录（案底），但它会在公安机关内部有相应的违法记录存档。不过，按照相关规定，未成年人的行政处罚记录一般会被封存，非因法定事由不得向任何单位和个人提供。

二、刑事处罚与案底的关系

1. 不构成犯罪的情况：

   • 如果未成年人的打架行为未构成刑事犯罪，那么他们不会留下案底。这种情况下，可能只会受到公安机关的行政处罚。

2. 构成犯罪的情况：

   • 年龄因素：根据《刑法》的规定，不同年龄段的未成年人对犯罪行为的刑事责任能力是不同的。
     • 不满12周岁的未成年人实施任何危害社会的行为，都不负刑事责任，因此不会留下案底。
     • 已满12周岁不满14周岁的未成年人，仅对犯故意杀人、故意伤害罪，致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾，且经最高人民检察院核准追诉的，负刑事责任，会留下案底。
     • 已满14周岁不满16周岁的未成年人，对犯故意杀人、故意伤害致人重伤或死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质罪的，负刑事责任，会留下案底；其他犯罪行为则不负刑事责任，不会留下案底。
     • 已满16周岁的未成年人犯罪，应当负刑事责任，会留下案底。
   • 犯罪记录封存：即使未成年人因犯罪被判处刑罚，但如果犯罪时不满十八周岁且被判处五年有期徒刑以下刑罚，其犯罪记录会被封存，不对外公开。

三、具体到您的情况

• 如果您的孩子在学校打架，派出所仅给予了罚款的行政处罚，且打架行为未构成刑事犯罪，那么您的孩子不会留下案底。
• 如果打架行为构成了刑事犯罪，并且您的孩子达到了相应的刑事责任年龄，那么根据犯罪的严重程度和判决结果，可能会留下案底。但如前所述，如果犯罪时不满十八周岁且被判处五年有期徒刑以下刑罚，犯罪记录会被封存。

四、建议与警示

• 作为家长，应加强对孩子的法治教育和道德教育，引导他们树立正确的价值观和行为准则，避免参与打架等不良行为。
• 如果孩子发生了打架事件，应及时与学校、警方沟通，了解事情的具体情况，并积极配合处理，防止事态扩大和恶化。
• 同时，也要关注孩子的心理健康，帮助他们正确处理冲突和矛盾，培养他们的解决问题的能力和社交技巧。

综上所述，未成年人打架是否会留案底取决于多个因素，包括行为是否构成犯罪、犯罪的严重程度以及年龄因素等。希望以上解答能对您有所帮助。