若第一次伤残鉴定为10级但保险公司不认可，重新鉴定后的结果可能产生以下法律后果，需分情况讨论：

1. 重新鉴定结果仍为10级伤残
   若重新鉴定结论与首次一致，保险公司通常需按10级伤残标准赔付。根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第40条，一方当事人自行委托鉴定后，另一方有证据足以反驳并申请重新鉴定的，法院应予准许；但若重新鉴定结论未推翻原结论，原鉴定效力将得到确认。此时保险公司若仍拒赔，您可通过诉讼主张权利，法院一般会采纳鉴定结论作为定案依据。

2. 重新鉴定结果低于10级（如无伤残或更低等级）
   若新鉴定结论显示不构成伤残或等级降低，保险公司可能按新标准调整赔付金额。例如，原10级伤残对应的一次性伤残补助金为7个月本人工资，若新鉴定为无伤残，则该部分赔偿可能被驳回。但需注意：若首次鉴定程序合法、依据充分，您可主张重新鉴定存在程序瑕疵（如鉴定机构资质问题、送检材料不完整等），要求法院不予采信新结论。

3. 重新鉴定结果高于10级（如9级或更高）
   若新鉴定等级提升，您有权要求保险公司按更高标准赔付差额部分。例如，9级伤残补助金为9个月工资，您可主张补足2个月工资差额。此时保险公司若对新结论有异议，需进一步举证推翻，否则需承担不利后果。

关键行动建议：

• 审查鉴定程序合法性：确认两次鉴定机构是否均具备司法鉴定资质，鉴定人是否具备相应执业资格，鉴定过程是否符合《司法鉴定程序通则》要求（如是否通知保险公司到场、是否采用正确鉴定标准等）。
  
• 固定证据链：保存首次鉴定报告、保险公司拒赔通知书、重新鉴定申请书及新鉴定报告等材料，形成完整证据链。
  
• 协商与诉讼并行：优先与保险公司协商，明确其拒赔理由；若协商无果，可在诉讼中申请法院委托鉴定（此时鉴定结论效力通常高于单方委托鉴定），或直接主张按有效鉴定结论赔付。
  

风险提示：若两次鉴定结论差异较大，法院可能综合案情决定是否启动第三次鉴定。建议根据案件具体情况，提前评估鉴定结论对赔偿金额的影响，制定合理诉讼策略。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。