结论：租赁合同未约定租期付款利息时，法院是否支持利息需分情况讨论，具体如下：

1. 若承租人逾期支付租金构成违约，法院可能支持利息
   根据《民法典》第五百七十七条，当事人一方不履行合同义务或履行不符合约定，应承担继续履行、采取补救措施或赔偿损失等违约责任。若承租人未按约定时间支付租金，即使合同未明确约定利息，出租人仍可主张逾期付款的利息损失。利息计算标准通常参照全国银行间同业拆借中心公布的贷款市场报价利率（LPR），法院可能根据实际损失、合同履行情况等因素综合判定。

2. 若合同未约定租金支付期限，需先确定履行期限
   若租赁合同未明确租金支付时间（如按月、按季支付），根据《民法典》第五百一十条，双方可协议补充；无法达成补充协议的，按合同相关条款或交易习惯确定。若仍无法确定，承租人应在租赁期限届满时支付租金。此时，若承租人逾期支付，出租人可主张利息，但需以确定履行期限为前提。

3. 若出租人未催告且未给予合理期限，法院可能不支持利息
   根据《民法典》第五百六十三条，出租人需先催告承租人在合理期限内支付租金；逾期仍不支付的，方可解除合同并主张违约责任（包括利息）。若出租人未履行催告程序直接起诉要求利息，法院可能以“未给予合理履行期限”为由驳回利息请求。

4. 特殊情形：租金支付方式为“预付”或“后付”的影响

   • 若合同约定租金“预付”（如先付后用），承租人未按期预付的，出租人可立即主张利息；
     
   • 若约定“后付”（如先用后付），需以租赁期限届满或双方约定的支付时间为起算点，逾期方可主张利息。

实务建议：

• 出租人应在合同中明确约定租金支付时间、方式及逾期利息标准（如“逾期支付按日万分之五计息”），以降低举证风险；
  
• 若合同未约定利息，出租人需保留催告记录（如书面通知、短信、邮件等），证明已给予承租人合理履行期限；
  
• 承租人若因客观原因无法按时支付租金，应及时与出租人协商延期并留存证据，避免被认定为恶意违约。
  

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