城管对违规安装空调外机确实拥有执法权。这一结论主要基于以下几点详细解释：

首先，从城市管理和综合行政执法的角度来看，城管部门负责维护城市秩序，包括居民区内的公共秩序和安全。违规安装空调外机可能侵犯他人权益，如噪音扰民、热气影响等，同时也可能带来安全隐患，如机器老化后可能脱落伤人等。这些问题都属于城市管理和综合行政执法的范畴，因此城管部门有权对此进行监管和执法。

其次，从实际案例来看，城管部门已经多次处理过因空调外机安装不当引起的纠纷和投诉。例如，在静安城管曹家渡街道综合行政执法队处理的案例中，居民因邻居空调外机安装位置不当而求助城管，城管队员通过现场了解情况、讲解法律法规、提出整改建议等方式，成功化解了邻里纠纷。在安亭镇综合行政执法队处理的案例中，城管队员更是直接开具了《责令改正通知书》，要求违规安装空调外机的业主进行整改，并对其处以罚款。

最后，从法律法规的角度来看，虽然具体的法律法规可能因地区而异，但一般来说，城市管理和综合行政执法部门都有权对违规安装空调外机等行为进行处罚。这些法律法规通常规定了空调外机的安装标准、位置要求以及违规行为的处罚措施等，为城管部门的执法提供了法律依据。

综上所述，城管对违规安装空调外机拥有执法权，这是基于城市管理和综合行政执法的职责、实际案例的处理以及法律法规的规定。因此，如果居民发现邻居或他人违规安装空调外机，可以向城管部门投诉举报，城管部门将依法进行处理。