私生子在法律上确实有权同时继承亲生父亲和继父的遗产，但需满足一定条件。以下是对这一问题的详细分析：
一、继承亲生父亲遗产的权利
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产的继承顺序中，第一顺序包括配偶、子女、父母。这里的“子女”包括婚生子女、非婚生子女（即私生子）、养子女和有扶养关系的继子女。
- 同时，《民法典》第一千零七十一条也明确规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。
继承条件：
- 私生子只需通过法定程序，如亲子鉴定等方式，证明其与亲生父亲之间的血缘关系，即可作为法定继承人参与亲生父亲遗产的分配。
- 如果亲生父亲在世时立有遗嘱，并且遗嘱中没有排除私生子的继承权，那么私生子依然有权按照遗嘱的内容参与遗产的分配。
二、继承继父遗产的权利
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，有扶养关系的继子女也属于第一顺序继承人。
继承条件：
- 私生子要继承继父的遗产，必须证明其与继父之间存在扶养关系。这通常意味着私生子在继父的抚养下成长，或者继父对私生子承担了抚养、教育等义务。
- 如果继父在世时立有遗嘱，并且遗嘱中明确指定了遗产的分配方式，那么私生子能否继承继父的遗产将取决于遗嘱的具体内容。如果遗嘱中未排除私生子的继承权，且私生子与继父之间存在扶养关系，那么私生子有权继承继父的遗产。
三、实际操作中的注意事项
证据收集：
- 在继承亲生父亲遗产时，私生子可能需要提供出生证明、亲子鉴定报告等证据来证明其与亲生父亲之间的血缘关系。
- 在继承继父遗产时，私生子则需要提供证据证明其与继父之间存在扶养关系，如共同生活的证明、继父承担抚养费用的记录等。
法律咨询：
- 由于遗产继承问题可能涉及复杂的法律关系和证据收集，建议私生子在继承过程中寻求专业律师的帮助，以确保其合法权益得到有效维护。
四、举例说明
假设有一个私生子，其亲生父亲去世且未留下遗嘱。同时，该私生子与继父共同生活多年，继父对其承担了抚养义务。在这种情况下，该私生子既有权继承亲生父亲的遗产（作为非婚生子女），也有权继承继父的遗产（作为有扶养关系的继子女）。
总结来说，私生子在法律上确实有权同时继承亲生父亲和继父的遗产，但需满足一定的条件，如证明血缘关系或扶养关系等。如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。