如果老来构成拒执罪后逃走，公安局是有权且通常会进行抓捕的。以下从多个角度对此问题进行分析：
拒执罪的法律性质：
- 拒执罪，即拒不执行判决、裁定罪，是指对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的行为。这是一种刑事犯罪，一旦构成，犯罪嫌疑人将面临刑事追究。
公安局的职责与权力：
- 公安局作为国家的执法机关，负责维护社会治安和打击犯罪。对于涉嫌刑事犯罪的嫌疑人，公安局有权进行立案侦查、采取强制措施（如拘留、逮捕）等。
- 在拒执罪的情况下，如果犯罪嫌疑人逃走，公安局将根据相关法律法规和侦查程序，展开追捕行动，以将其缉拿归案。
抓捕的法律依据与程序：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于在逃的犯罪嫌疑人，公安机关可以发布通缉令，采取网上追逃等措施，动员社会力量进行查找和抓捕。
- 在抓捕过程中，公安机关将遵循法定程序，确保犯罪嫌疑人的合法权益不受侵犯，同时也会依法收集证据，为后续的刑事诉讼程序做好准备。
逃走后的法律后果：
- 如果犯罪嫌疑人逃走，不仅无法逃避法律的制裁，反而可能因逃避追捕而面临更严重的法律后果。例如，可能被认定为具有更大的主观恶性和社会危害性，从而在量刑时受到更重的处罚。
- 此外，逃走还可能导致犯罪嫌疑人错过与家人团聚、争取从轻或减轻处罚等机会。
建议与提醒：
- 对于涉嫌拒执罪的犯罪嫌疑人，我建议其尽快主动投案自首，配合公安机关的调查和审判工作。这样不仅可以争取从轻或减轻处罚的机会，还可以体现对法律的尊重和对自己行为的负责态度。
- 同时，我也提醒广大公众要遵守法律法规，尊重法院的判决和裁定。如果认为判决或裁定有误，可以通过合法途径提出申诉或上诉，而不是采取逃避或抗拒执行的方式。
综上所述，如果老来构成拒执罪后逃走，公安局是有权且通常会进行抓捕的。因此，我建议犯罪嫌疑人尽快主动投案自首，以争取更好的法律后果。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。