销售假冒注册商标商品被刑事拘留，公安机关最初拘留3天是依据《刑事诉讼法》的一般规定进行的初步拘留，但实际拘留期限可能因案件情况而延长，最长可达37天。以下是对此问题的详细分析：

一、刑事拘留的一般期限

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在一般情况下，人民检察院应当在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。因此，在没有任何延长的情况下，通常的刑事拘留时间为10天（即拘留3天+审查批捕7天）。

二、刑事拘留期限的延长情况

1. 特殊情况延长：

   • 在案件复杂、收集证据难度大等特殊情况下，公安机关提请审查批准的时间可以延长一日至四日。此时，拘留加上审查批捕的时间可延长至14天（即拘留3天+审查批捕延长4天+审查批捕7天）。

2. 流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子：

   • 对于这类重大嫌疑分子，公安机关提请审查批准的时间可以进一步延长至三十日。考虑到人民检察院依然是在接到提请批准逮捕书后的七日以内作出决定，所以这类情形下刑事拘留的最长期限合计为37天（即拘留30天+审查批捕7天）。

三、销售假冒注册商标商品可能面临的法律后果

销售假冒注册商标的商品，不仅可能面临刑事拘留，还可能根据销售金额的大小承担相应的刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定：

• 销售金额较大：可能判处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金。
• 销售金额巨大或者有其他严重情节：可能判处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。

四、被刑拘后的权利与应对

1. 获得法律帮助权：

   • 犯罪嫌疑人自被第一次讯问或采取强制措施之日起，有权委托辩护人，侦查期间只能委托律师。律师可以提供法律咨询、代理申诉、控告等服务。

2. 申请取保候审权：

   • 若符合取保候审条件，如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或判处有期徒刑以上刑罚但不致发生社会危险性，犯罪嫌疑人及其近亲属、辩护人有权提出取保候审申请。

五、建议与行动指南

• 及时了解案件情况：

  • 家属应尽快与承办案件的公安机关联系，了解案件的大致情况，包括拘留的原因、期限等。

• 委托专业律师：

  • 尽快为犯罪嫌疑人委托专业的刑事辩护律师。律师可以会见犯罪嫌疑人，了解案件细节，为后续辩护收集信息，并提供法律帮助。

• 配合律师工作：

  • 犯罪嫌疑人及其家属应积极配合律师的工作，提供必要的证据和信息，以便律师更好地为其辩护。

总结：销售假冒注册商标商品被刑事拘留的期限并非固定不变，而是根据案件的具体情况和法律规定来决定。面对此类法律问题，建议尽快委托专业律师进行法律应对，以有效维护合法权益。如果你或你的家人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。