当公司与员工解除劳动关系时，赔偿方式和标准确实是一个复杂且关键的问题，它主要取决于解除合同的具体原因。以下是我为您详细梳理的赔偿规定和计算方式：

一、无需支付赔偿的情形

首先，如果员工存在以下过错，公司解除劳动合同是无需支付经济补偿的：

1. 试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反公司规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 同时与其他公司建立劳动关系，对本公司工作任务造成严重影响或拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同；
6. 被依法追究刑事责任。

二、应当支付经济补偿的情形

在以下情形下，公司需要向员工支付经济补偿：

1. 协商一致解除：如果双方协商一致解除劳动合同，且是由公司提出解除动议的，那么经济补偿将按照员工在公司的工作年限来计算。每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。这里的“月工资”指的是劳动合同解除前十二个月的平均工资，但如果员工月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍的，则按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

2. 非过失性辞退：包括员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作；或者员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作；以及劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议等情形。经济补偿标准与协商一致解除相同。

3. 经济性裁员：如果公司因破产重整、生产经营严重困难、转产或技术革新等需要裁减人员，且裁减人数达到一定标准（如裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的），那么公司也需要按照上述标准支付经济补偿，并优先留用与本公司订立较长期限的固定期限劳动合同的员工、与本公司订立无固定期限劳动合同的员工以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的员工。

4. 劳动合同期满终止：除公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，员工不同意续订的情形外，固定期限劳动合同期满终止的，公司也需要支付经济补偿。

5. 公司主体资格丧失：如果公司被宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或者公司决定提前解散，导致劳动合同终止的，公司同样需要支付经济补偿。

三、应当支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，比如无故解雇员工，那么公司需要依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

四、特殊情形下的赔偿处理

此外，还有一些特殊情形下的赔偿处理需要注意：

• 代通知金：如果公司未提前三十日以书面形式通知员工本人就解除劳动合同的，需要额外支付员工一个月工资作为代通知金。

• 未休年假补偿：如果员工在离职前有未休的年假，公司需要按照日工资的300%支付未休年假工资报酬（其中包含公司已支付的正常工资）。

• 竞业限制补偿：如果公司与员工约定了竞业限制条款，那么在员工离职后，公司需要按照约定按月支付不低于最低工资的经济补偿。

综上所述，公司与员工解除劳动关系时的赔偿问题需要根据具体情况来判定。在处理这类问题时，公司应严格遵守相关法律法规，确保合法合规地处理劳动合同解除事宜，以维护双方的合法权益。