房东不肯按月开具发票的行为是否违法，需分情况讨论：

1. 若房东为自然人且未办理税务登记
   根据《发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事经营活动的单位/个人，对外发生经营业务收取款项时，收款方应当向付款方开具发票。但自然人出租住房属于“个人出租不动产”的免税情形（月租金≤10万元免征增值税），若房东未办理税务登记，实践中可能存在无法直接开具发票的情况。此时房东的行为虽不构成“偷税漏税”（因免税），但仍负有配合开具发票的义务，可通过税务机关代开解决。

2. 若房东为企业或个体工商户
   若房东已办理税务登记，其出租房屋属于经营活动，必须按月开具发票。拒绝开具发票的行为违反《发票管理办法》第三十五条，可能面临税务机关责令改正、罚款（最高1万元）等处罚。此外，若房东通过不开票隐瞒收入，还可能构成偷税，需补缴税款、滞纳金及罚款（偷税金额50%-5倍）。

3. 对承租人的法律影响
   若您因报销、抵扣等需求需要发票，房东拒绝开具可能导致您无法完成财务合规或税前扣除。此时您可：

   • 向当地税务机关举报（拨打12366或通过电子税务局）；
     
   • 要求房东通过税务机关代开发票（自然人可凭身份证、租赁合同等材料申请）；
     
   • 若因房东拒开发票导致您损失（如无法抵扣税款），可主张房东赔偿实际损失。

建议行动：

1. 先与房东沟通，明确告知其开具发票的法定义务；
   
2. 若协商无果，可向房屋所在地税务局申请代开发票（自然人出租住房免税，仅需缴纳房产税等少量税费）；
   
3. 保留租赁合同、付款记录等证据，以备维权使用。
   

如有进一步细节（如房东身份、租金金额等），可向我补充说明，我会为您分析具体风险。