结论：打架后医药费的垫付问题，首先应由侵权人（即打人者）承担。但在实际操作中，垫付情况需根据加害人的明确性、支付能力以及双方对责任划分的争议等因素综合考虑。
一、侵权人垫付
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。这明确了侵权人承担医疗费用的法律责任。
实际操作：
- 如果打架行为完全由对方引起，且对方存在过错（如故意挑衅、先动手等），那么对方的侵权行为导致您受伤，对方应承担全部赔偿责任。在这种情况下，您可以要求对方直接支付医疗费用。
二、被侵权人自行垫付
紧急情况：
- 在紧急救治情况下，如果侵权人拒绝垫付或无法立即垫付，医疗机构不得拒绝救治。此时，您可能需要自行先行垫付医疗费用以确保及时治疗。
责任争议：
- 如果双方对责任存在争议，且无法立即确定侵权人或侵权人的支付能力，您也可能需要自行先行垫付医疗费用。之后，双方可通过协商、调解或诉讼等法律途径确定责任划分及医疗费用承担问题。
证据保留：
- 无论何种情况，如果您自行垫付了医疗费用，务必妥善保留相关证据，如医疗费用清单、发票、诊断证明、病历等。这些证据将用于后续向侵权人追偿或通过法律途径解决争议。
三、其他垫付途径
公安机关调解：
- 您可以报警，由公安机关介入调查并组织双方调解。在调解过程中，可以协商由侵权人或其家属先行垫付部分或全部医药费。
民事诉讼：
- 如果调解不成，您可以向人民法院提起民事诉讼，要求侵权人赔偿包括医药费在内的各项损失。法院将依据事实和证据作出判决，要求侵权人承担相应赔偿责任。
保险公司垫付：
- 如果侵权人购买了相关保险（如意外险、第三者责任险），在符合保险合同约定的情况下，保险公司可在责任范围内垫付或支付医药费。这通常需要被保险人报案并提供相关证明材料。
社会救助基金：
- 在特定情形下，如肇事逃逸或加害人无力承担赔偿责任等，道路交通事故社会救助基金等相关救助基金可先行垫付部分或全部抢救费用，并有权向侵权人追偿。不过，这一途径主要适用于交通事故中的受伤情况。
四、法律建议
保持冷静：
- 在处理此类纠纷时，双方应保持冷静，避免采取过激行为，以免加重事态或导致更严重的法律后果。
及时咨询：
- 如果您对责任划分、医疗费用承担或法律程序等方面存在疑问或困惑，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
依法维权：
- 无论采取何种途径解决争议，都应依法行事，保留好相关证据，并通过合法途径维护自身权益。避免采取非法手段或暴力行为来解决问题。