结论：在犯罪嫌疑人到案后逃跑并自杀的情况下，民警通常不会被直接追责，但具体是否追责需根据民警是否存在违法行为或过错，以及这些行为或过错与犯罪嫌疑人自杀之间是否存在因果关系来综合判断。
分析说明：
民警的职责与行为规范：
- 民警在执法过程中，有职责确保犯罪嫌疑人的安全，但这并不意味着民警需要对犯罪嫌疑人的所有行为负责，特别是当犯罪嫌疑人主动采取极端行为（如自杀）时。
- 民警在执法时应遵循法律程序和行为规范，如果民警在执法过程中没有违法行为或过错，那么他们通常不会被追责。
犯罪嫌疑人自杀的独立性：
- 犯罪嫌疑人的自杀行为是其自主决定的结果，通常与民警的执法行为无直接因果关系。除非有证据表明民警的执法行为（如过度使用暴力、侮辱、威胁等）直接导致了犯罪嫌疑人的自杀，否则民警不会被追责。
追责的法定条件：
- 如果要对民警进行追责，必须满足一定的法定条件，如民警存在违法行为或过错，且这些行为或过错与犯罪嫌疑人的自杀之间存在直接的因果关系。
- 在实践中，要证明这种因果关系是非常困难的，因为自杀行为往往受到多种因素的影响，包括个人心理、环境因素等。
特殊情况下的考虑：
- 如果民警在执法过程中存在明显的违法行为或过错，如故意伤害、虐待犯罪嫌疑人等，且这些行为与犯罪嫌疑人的自杀有直接关联，那么民警可能会被追究相应的法律责任。
- 另外，如果民警在发现犯罪嫌疑人有自杀倾向时未采取必要的预防措施，也可能因疏忽大意而被追责，但这种情况同样需要具体的证据支持。
法律建议：
- 对于民警而言，在执法过程中应严格遵守法律程序和行为规范，确保犯罪嫌疑人的合法权益得到保障，同时也要注意自身的安全。
- 如果发生犯罪嫌疑人自杀等极端事件，民警应积极配合相关部门的调查，提供必要的证据和信息，以证明自己的执法行为合法合规。
- 对于公众而言，如果对此类事件有疑问或关注，可以了解相关的法律知识和程序，以便更好地理解和评价事件的处理结果。
后续行动指南：
- 如果您或您身边的人涉及此类事件，建议保持冷静，及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 在处理此类事件时，应尊重法律程序和证据规则，避免盲目猜测或传播不实信息。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律解答和建议。