刑事拘留期限的起算时间是从被执行拘留的当天开始，而非拘留通知书的送达日期。以下是对这一问题的详细解释：

1. 拘留的执行与起算：

   • 公安机关在作出拘留决定后，会立即执行拘留，并将犯罪嫌疑人送押至看守所羁押。此时，拘留的期限即开始起算。这意味着，拘留的实际执行日（即犯罪嫌疑人被送往看守所的日期）即为拘留期限的起始日。例如，若犯罪嫌疑人于5月1日被公安机关执行刑事拘留并送往看守所，那么其刑事拘留期限就从5月1日开始计算。

2. 拘留通知书的发放：

   • 拘留通知书是公安机关在拘留当事人后，按照法律规定在一定时间内（除无法通知或涉及特殊犯罪情形外，应在拘留后二十四小时以内）向其家属或单位发出的告知文书。其主要作用是告知相关人员当事人被拘留的情况。
   • 拘留通知书的发出时间通常会晚于实际执行拘留的时间，这是因为公安机关需要首先完成拘留手续，并将犯罪嫌疑人送至看守所羁押后，才能发出通知。因此，拘留通知书的送达日期并不作为拘留期限的起算点。

3. 法律依据与实例说明：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在执行拘留时，必须出示拘留证，并立即将被拘留人送看守所羁押。同时，除特定情形外，应在拘留后二十四小时以内通知被拘留人的家属。这一规定明确了拘留的执行与通知家属的时间节点，也间接说明了拘留期限的起算时间。
   • 以实例说明，如犯罪嫌疑人张三于5月1日被公安机关执行刑事拘留并送往看守所，即使5月2日公安机关才向其家属发出拘留通知书，张三的刑事拘留期限仍从5月1日开始计算。

4. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如犯罪嫌疑人涉嫌流窜作案、多次作案、结伙作案等重大嫌疑，公安机关可能需要更长时间进行调查和证据收集。此时，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，提请审查批准的时间可以延长至三十日。但这并不影响拘留期限的起算时间，仍是从被执行拘留的当天开始计算。

总结与建议：

• 刑事拘留期限的起算时间是一个关键问题，它关系到犯罪嫌疑人的合法权益保障和后续法律程序的进行。因此，公安机关在执行拘留时，必须严格遵守法律规定，确保拘留期限的准确性。
• 作为犯罪嫌疑人或其家属，如果对拘留期限的起算时间有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据具体情况，提供详细的法律解释和专业的法律建议。