结论前置：房屋续租未签订新合同时，原租赁合同继续有效，但租赁期限变为不定期，双方均享有任意解除权。不过，为明确双方权利和义务，建议及时补签书面合同。以下是对这一问题的详细分析：
法律分析
原合同继续有效：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百三十四条的规定，当租赁期限届满后，若承租人继续使用租赁物且出租人未提出异议，原租赁合同将继续有效。这意味着，在没有签订新合同的情况下，原合同中的租金、押金、房屋使用方式等核心条款仍然对双方具有约束力。
租赁期限变为不定期：
- 在续租未签新合同的情况下，租赁期限转变为不定期租赁。不定期租赁的最大特点是双方均享有任意解除权，即出租人和承租人都可以随时提出解除合同，但出租人在解除合同时应给予承租人合理的准备时间，以避免给承租人造成不必要的损失。
双方权益保障：
- 尽管没有续签合同，但原租赁合同的其余条款（如维修责任、违约责任等）依然对双方具有约束力。任何一方违反合同条款，另一方都有权要求其承担相应责任。例如，如果出租人未履行维修义务导致房屋损坏，承租人有权要求出租人进行修复或赔偿。
优先承租权：
- 租赁期限届满时，房屋承租人享有以同等条件优先承租的权利。这一规定同样适用于不定期租赁的情况。如果出租人打算将房屋出租给第三方，应首先询问承租人是否愿意以同等条件续租。
操作建议
签订新合同或补充协议：
- 为避免未来可能出现的纠纷，双方应积极协商并签订新的租赁合同或补充协议。新合同或协议可以进一步明确租金调整机制、租赁期限、房屋维修责任等关键条款，从而确保租赁关系的稳定和有序。例如，可以约定租金每年上涨一定比例，或者明确房屋维修的具体责任人和维修范围。
及时沟通：
- 在不定期租赁期间，双方应保持密切沟通，就租赁相关事宜进行及时协商和处理。这有助于增进彼此的理解与信任，减少误解和冲突的发生。例如，如果承租人需要提前退租，应及时与出租人沟通并协商解决方案。
保留证据：
- 无论是支付租金还是其他与租赁相关的行为，双方都应注意保留相关证据（如转账记录、聊天记录等）。这些证据在日后可能发生的争议解决过程中将发挥重要作用。例如，如果出租人声称承租人未支付租金，承租人可以出示转账记录作为证据进行反驳。
可能的法律后果
- 如果双方未签订新合同且未就租赁事宜进行明确约定，一旦发生纠纷，可能面临举证困难的问题。例如，如果承租人主张出租人未履行维修义务，但无法提供相关证据，则可能无法得到法院的支持。
- 如果出租人或承租人违反原合同或不定期租赁的相关规定，另一方有权要求其承担违约责任或赔偿损失。例如，如果出租人未经承租人同意擅自将房屋出租给第三方，承租人有权要求出租人承担违约责任并赔偿因此造成的损失。
综上所述，房屋续租未签订新合同时，虽然可以按原合同执行，但双方应明确不定期租赁的特点和各自的权利义务。为保障租赁关系的稳定性和合法性，建议及时补签书面租赁合同或补充协议，并保持良好的沟通与协作关系。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。