结论：逾期一天通常较难直接申请到个性化分期，但并非绝对不可能，具体需结合贷款机构政策、合同约定及逾期原因等因素综合判断。以下从不同角度展开分析：

1. 贷款机构政策角度
   多数银行或金融机构的个性化分期政策（如信用卡分期、贷款展期）会设定明确的逾期门槛，例如“连续逾期3期以上”或“累计逾期6次”等条件。逾期一天通常未达到这类硬性标准，因此机构可能直接拒绝申请。但部分机构为维护客户关系，可能对首次逾期、情节轻微的用户开放协商窗口，此时需主动联系客服说明情况并提交申请。

2. 合同约定角度
   需仔细查阅贷款合同中关于“分期调整”或“逾期处理”的条款。若合同明确约定“逾期后丧失分期资格”，则逾期一天即可能触发该条款；若合同未排除“轻微逾期可协商”的情形，则仍有争取空间。例如，某些消费金融公司的合同会注明“逾期不超过5日且主动还款的，可申请调整还款计划”。

3. 逾期原因与沟通技巧角度
   即使逾期一天，若能提供合理原因（如系统扣款延迟、突发疾病等不可抗力），并主动联系机构说明情况、表达还款意愿，部分机构可能酌情同意。建议采取以下步骤：

   • 立即全额还款，减少逾期影响；
     
   • 保留还款凭证、沟通记录等证据；
     
   • 书面提交个性化分期申请，明确还款计划（如延长期限、降低月供）；
     
   • 强调自身还款能力（如收入证明、资产情况）。

4. 法律风险与注意事项
   若机构拒绝协商，需注意：

   • 逾期记录可能被上报征信，影响个人信用；
     
   • 机构可能按合同约定收取违约金或罚息；
     
   • 避免以“不还款”威胁机构，否则可能构成违约甚至涉嫌贷款诈骗。
     

建议：逾期一天后，应优先全额还款，再主动与机构沟通申请个性化分期。若协商无果，可考虑通过监管部门投诉（如银保监会）或寻求法律途径解决，但需评估成本与收益。如有具体合同条款或沟通细节需要分析，可进一步向我提供信息。