登记设立的事业单位，其性质主要可以从以下几个方面来理解：

首先，公益性质是登记设立事业单位的核心特征。根据《事业单位登记管理暂行条例》第二条的规定，事业单位是由国家为了社会公益目的而设立的，这意味着它们的主要任务是提供社会服务，如教育、科技、文化、卫生等领域，以满足公众的需求和促进社会的整体发展。

其次，国有资产举办是登记设立事业单位的另一个重要特点。这些单位通常是由国家机关举办，或者其他组织利用国有资产来举办的。这体现了国家在事业单位设立中的主导作用，以及国有资产在提供社会服务方面的关键作用。

再者，非营利性也是登记设立事业单位的一个显著标志。与营利性企业不同，事业单位的主要目标不是追求利润最大化，而是提供高质量的社会服务。虽然它们在运营过程中可能会产生一定的收入，但这些收入必须用于符合其宗旨和业务范围的活动，而不能用于分配给个人或股东。

此外，法人资格是登记设立事业单位在法律上的重要地位。根据条例的规定，事业单位经县级以上各级人民政府及其有关主管部门批准成立后，应当依照条例的规定进行登记或者备案，并具备法人条件。这意味着事业单位在法律上是一个独立的实体，能够独立承担民事责任，享有相应的权利和义务。

最后，从实际操作和监管的角度来看，登记设立事业单位需要遵守一系列的规定和程序。例如，它们需要向登记管理机关提交相关的文件进行登记或备案，接受财税、审计部门的监督，并定期报送上一年度执行条例情况的报告。这些规定和程序有助于确保事业单位的规范运营和健康发展。

综上所述，登记设立的事业单位具有公益性质、国有资产举办、非营利性、法人资格以及需要遵守一系列规定和程序等特点。这些特点共同构成了登记设立事业单位的基本性质，并为其在提供社会服务、促进社会发展方面发挥了重要作用。