广告店按客户要求私刻章是不合法的，且可能涉及严重的法律后果。以下从多个角度对此问题进行分析：
私刻公章的法律性质：
- 私刻公章，无论是否用于非法目的，都违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定。根据该法第五十二条，伪造、变造或者使用伪造、变造的公文、证件、证明文件、印章的，将受到行政处罚，包括拘留和罚款。
- 若私刻的公章被用于实施诈骗等犯罪活动，则可能构成《中华人民共和国刑法》中的伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪，甚至诈骗罪等，将面临更严厉的刑事处罚。
广告店的责任：
- 广告店作为提供刻章服务的商家，有义务核实客户的身份和刻章用途。若广告店在明知或应知客户要求私刻公章用于非法目的的情况下，仍提供服务，则可能构成共同违法或犯罪。
- 即使广告店对客户私刻公章的具体用途不知情，但因其未履行基本的核实义务，也可能因违反行业规范或相关法律法规而承担一定的法律责任。
客户的责任：
- 客户要求广告店私刻公章，无论出于何种目的，都是违法的。若客户使用私刻的公章进行非法活动，如签订虚假合同、伪造文件等，将承担相应的法律责任，包括民事赔偿、行政处罚甚至刑事处罚。
法律建议：
- 对于广告店而言，应严格遵守相关法律法规，不提供私刻公章服务。在接到刻章业务时，应核实客户的身份和刻章用途，确保业务的合法性。
- 对于客户而言，应认识到私刻公章的违法性，避免提出此类要求。若需要刻制公章，应通过合法途径，如向相关部门申请批准后，到指定的刻章点进行刻制。
可能面临的法律后果：
- 若广告店或客户因私刻公章被查处，将面临行政处罚，如拘留、罚款等。
- 若私刻的公章被用于实施犯罪活动，相关责任人将可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、罚金等。
综上所述，广告店按客户要求私刻章是不合法的，且可能涉及严重的法律后果。建议广告店和客户都应遵守相关法律法规，避免涉及此类违法行为。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。