关于律师申请取保候审后司法机关的审批时间，这并不是一个固定的期限，而是会受到多种因素的影响，包括案件的复杂性、证据的充分性以及司法机关的工作流程等。不过，我可以根据一般的法律实践和规定，为你提供一个大致的时间框架和详细解释。
侦查阶段（公安机关）：
- 在侦查阶段，如果律师为犯罪嫌疑人申请取保候审，公安机关通常会在收到申请后的3天内作出是否同意的决定。这是基于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，该法要求司法机关在收到变更强制措施的申请后，应在三日以内作出决定。
- 然而，对于案情复杂、涉及多方调查核实的情况，审批时间可能会延长。例如，对于流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，审批时间甚至可能延长至30天。公安机关会综合考虑案件的性质、证据的充分性以及犯罪嫌疑人的社会危险性等因素来作出决定。
审查起诉阶段（人民检察院）：
- 在审查起诉阶段，如果律师为被告人申请取保候审，人民检察院一般也会在收到申请后的7天内（实践中通常参照三日的规定尽快处理）作出决定。检察院会对案件进行全面审查，包括案件证据、犯罪嫌疑人的社会危险性评估等，以决定是否准许取保候审。
审判阶段（人民法院）：
- 在审判阶段，人民法院对取保候审申请的审查决定时间同样没有严格固定的标准。但一般来说，法院也会尽快作出决定，通常会在7天左右的时间内完成审查（实践中同样会参照三日的规定）。法院会根据案件的审理进程、被告人是否可能被判处缓刑等多种因素进行综合考量。
取保候审后的相关手续：
- 若司法机关同意取保候审申请，犯罪嫌疑人或被告人在缴纳保证金或提供保证人后，通常能够很快被释放。这一流程一般当天或次日即可完成，具体包括制作取保候审决定书、向犯罪嫌疑人宣读并告知其相关法律规定和应遵守的规定等。
建议与注意事项：
- 鉴于取保候审审批时间的不确定性，如果你或你的亲友正在面临这样的问题，建议尽快向我咨询。作为专业律师，我能够根据案件的具体情况和当地司法机关的工作流程，为你提供更准确的程序指导和时间安排建议。
- 在准备申请材料时，务必确保完整性和准确性，以避免因材料不齐而导致的审批延误。
总的来说，取保候审的审批时间是一个相对灵活的过程，受到多种因素的影响。了解这些法律规定和实际操作中的细节，有助于你更准确地预期审批时间并做出相应的准备。如果你有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。