结论：法院不会一直“管”租房人欠房租这件事，但在一定条件下会持续采取措施保障您的权益，直至房租欠款得到清偿或执行程序终结。以下从不同角度为您详细分析：
一、法院判决后的执行程序
申请强制执行：在您获得法院支持您索要房租的判决后，若租房人仍未履行支付义务，您有权向法院申请强制执行。法院会依法对租房人的财产进行查封、扣押、冻结或拍卖等措施，以强制其履行判决。
执行期限：执行程序并非无限期进行。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，执行案件一般在立案之日起六个月内执结。对于特殊情况，如需要评估、拍卖等，执行期限可能会相应延长，但法院会尽力在合理期限内完成执行。
执行终结：若租房人确实无财产可供执行，或者执行过程中出现其他法定终结情形（如租房人死亡且无遗产可供执行等），法院可能会裁定终结本次执行程序。但这并不意味着法院不再“管”此事，若您后续发现租房人有可供执行的财产，可以申请恢复执行。
二、法院对租房人的持续监督
限制高消费：在执行过程中，若租房人未履行生效法律文书确定的义务，法院可以对其采取限制高消费措施，如限制乘坐飞机、高铁等高档交通工具，限制在星级以上宾馆、酒店等场所进行高消费等。
纳入失信被执行人名单：若租房人具有履行能力而不履行生效法律文书确定的义务，法院可以将其纳入失信被执行人名单，并向社会公布。这将对租房人的信用记录产生严重影响，限制其从事某些活动或获得某些利益。
司法拘留或刑事处罚：若租房人拒不执行法院判决、裁定，情节严重的，还可能面临司法拘留或刑事处罚。这体现了法院对拒不执行判决、裁定行为的严厉打击态度。
三、您的后续行动建议
积极配合法院执行：在执行过程中，您应积极配合法院的工作，提供租房人的财产线索等信息，以便法院能够更有效地采取执行措施。
关注租房人财产状况：您应持续关注租房人的财产状况，若发现其有可供执行的财产或收入来源，应及时向法院报告并申请恢复执行。
考虑其他救济途径：若执行程序长时间无法取得进展或租房人确实无财产可供执行，您可以考虑通过其他途径寻求救济，如与租房人协商达成还款计划、寻求第三方担保等。
总结：法院在您起诉租房人欠房租后，会依法进行审理并作出判决。若租房人未履行判决义务，您可以申请强制执行。法院会采取一系列措施保障您的权益，并在一定条件下持续“管”此事直至问题得到解决。若您在执行过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。