针对您提出的小车违停刚贴的罚单如何申诉不罚款的问题，这主要取决于罚单是由哪个部门开具的，以及您是否符合申诉的条件。以下是一些详细的解答和建议：

一、如果罚单是由交警部门开具的

1. 申诉渠道：

   • 您可以通过“交管12123”APP进行申诉。在申诉前，请确保您的机动车和驾驶证已经在该APP上备案。

2. 申诉流程：

   • 打开“交管12123”APP，找到交通违法消除申请的入口。
   • 选择申诉原因，并详细填写具体的申诉理由。例如，如果您认为违停是由于特殊情况（如救助危难、紧急避险等）造成的，或者存在交通信号指示不一致、机动车信息记录错误等情况，都可以作为申诉理由。
   • 上传相关证据照片，如现场照片、视频等，以支持您的申诉。
   • 点击“提交”完成申诉，并等待违法地交管部门的审核。

3. 查看审核进度：

   • 您可以在“交管12123”APP上查看申诉的审核进度，了解申诉是否已被受理以及处理结果。

二、如果罚单是由城管部门开具的

1. 陈述和申辩：

   • 城管执法人员在张贴违停告知单时，会告知车主如有异议，可在5个工作日内提出陈述和申辩。
   • 您可以在这个期限内，向城管部门提出书面或口头的陈述和申辩，说明您对罚单的异议及理由。

2. 行政复议或行政诉讼：

   • 如果您对城管部门的处理结果不满意，可以在收到处罚决定书之日起60日内，向本级人民政府申请行政复议。
   • 或者，您也可以在6个月内向法院提起行政诉讼，通过法律途径维护自己的权益。

三、申诉不罚款的常见情形

• 机动车被盗抢期间发生的违停。
• 有证据证明违停是由于救助危难或者紧急避险造成的。
• 已被交通警察现场处理的违停（即已接受过处罚或处理）。
• 因交通信号指示不一致造成的违停。
• 机动车类型、号牌、外观等特征以及违法时间、地点、事实不清楚、不准确的。
• 记录的机动车号牌信息错误的。
• 因车辆号牌被他人伪造、变造或者非法使用造成的违停。

四、注意事项

• 在申诉前，请确保您已经收集了足够的证据来支持您的申诉理由。
• 申诉时，请保持冷静和理性，详细、清晰地阐述您的异议和理由。
• 如果申诉被驳回或您对处理结果不满意，不要放弃维权，可以考虑通过行政复议或行政诉讼等法律途径进一步维护自己的权益。

希望以上解答和建议能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。